Bài 80 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Với giá trị nào của m, bất phương trình:

(m² + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?

Đáp án

Ta viết phương trình đã cho dưới dạng:

(m² + m + 1)x + 3m + 1 > 0

Đặt f(x) = (m² + m + 1)x + 3m + 1 ,

Với mỗi giá trị của m, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng (D_m).

Gọi A_m và B_m là các điểm trên đường thẳng (Dm) có hoành độ theo thứ tự là – 1 và 2.

f(x) > 0 với ∀x ∈ [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng A_mB_m nằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi A_m và B_mnằm phía trên trục hoành, tức là: 

\(\left\{ \matrix{
f( - 1) > 0 \hfill \cr
f(2) > 0 \hfill \cr} \right.\)

Thay f(-1) = -m² + 2m và f(2) = 2m²+ 5m + 3 , ta được hệ bất phương trình:

\(\left\{ \matrix{
- {m^2} + 2m > 0 \hfill \cr
2{m^2} + 5m + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 2\)

Bài 81 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) a²x + 1 > (3a - 2)x - 3

b) 2x² + (m - 9)x + m² + 3m + 4 ≥ 0

Đáp án

a) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:

(a² – 3a + 2) x > 2

+ Nếu a² – 3a + 2 > 0, tức là a < 1 hay a > 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x > {2 \over {{a^2} - 3a + 2}}\)

+ Nếu a² – 3a + 2 < 0,  tức là 1 < a <  2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x < {2 \over {{a^2} - 3a + 2}}\)

+ Nếu a² – 3a + 2 = 0, tức là a = 1 hoặc a = 2 thì bất phương trình đã cho trở thành 0x > 2. Khi đó, bất phương trình này vô nghiệm.

b) Ta có:

Δ = (m – 9)² – 8(m² + 3m + 4) = -7(m² + 6m – 7)

Nếu Δ ≤ 0 hay m ≤ -7 hoặc m ≥ 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R

Nếu Δ  > 0 hay -7 < m < 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt : 

\(\eqalign{
& {x_1} = {{9 - m - \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{9 - m + \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4} \cr} \)

Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x ≤ x₁ hoặc x ≥ x₂.

 Vậy:

+ Nếu m ≤ -7 hoặc m ≥ 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R

+ Nếu -7 < m < 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(( - \infty ;{{9 - m - \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4}) \cup \)

\(({{9 - m + \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4},+\infty )\)

Bài 82 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các bất phương trình sau:

a) \({{x - 2} \over {{x^2} - 9x + 20}} > 0\)

b) \({{2{x^2} - 10x + 14} \over {{x^2} - 3x + 2}} \ge 1\)

Đáp án

a) Bảng xét dấu:

\(S = (2, 4) ∪ (5, +∞)\)

b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:

\({{2{x^2} - 10x + 14} \over {{x^2} - 3x + 2}} - 1 \ge 0\,\,\,(1)\)

Ta có:

\((1) \Leftrightarrow {{{x^2} - 7x + 12} \over {{x^2} - 3x + 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
2 < x \le 3 \hfill \cr
x \ge 4 \hfill \cr} \right.\) 

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(S = (-∞, 1) ∪ (2, 3] ∪ (4, +∞)\)

Bài 83 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:

a) (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0

b) (m² - 1)x² + 2(m + 1)x + 3 > 0

Đáp án

a)

+ Với m = 4, bất phương trình thành: 2x – 1 ≤  0, không thỏa mãn điều kiện với mọi x

+ Với m ≠ 4. : (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0, ∀x

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m - 4 < 0 \hfill \cr
\Delta = {(m - 6)^2} - 4(m - 4)(m - 5) \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 4 \hfill \cr
- 3{m^2} + 24m - 44 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 4 \hfill \cr
\left[ \matrix{
m \le 4 - {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
m \ge 4 + {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \le 4 - {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

b)

+ Với m = 1, bất phương trình trở thành 4x + 3 > 0 , không thỏa mãn với mọi x

+ Với m = -1, bất phương trình trở thành 3> 0 thỏa mãn với mọi x

+ Với m ≠ -1, (m² - 1)x² + 2(m + 1) + 3 > 0 ∀x

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3({m^2} - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 2{m^2} + 2m + 4 < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy với m ≤ -1 hoặc m > 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\mathbb R\)

Giaibaitap.me