Bài 69 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các phương trình và bất phương trình sau

a) \(|{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2\)

b) \(|{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le   3\)

c) \(|{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\)

d) \(|2x + 3| = |4 – 3x|\)

Đáp án

a) Điều kiện: x ≠ - 1

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = - 2 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 2 = 2x + 2 \hfill \cr
{x^2} - 2 = - 2x - 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 2x - 4 = 0 \hfill \cr
{x^2} + 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \pm \sqrt 5 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \)

b) Điều kiện: x ≠  2

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le  3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x - 2| \cr
& \Leftrightarrow {(3x + 4)^2} - 9{(x - 2)^2} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow 10(6x - 2) \le 0 \Leftrightarrow x \le {1 \over 3} \cr} \)

Vậy \(S = ( - \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\)

c) Điều kiện: x ≠ 3

Ta có:

\(\eqalign{
& |{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x - 3|\, \ge \,|x - 3| \cr
& \Leftrightarrow {(2x - 3)^2} - {(x - 3)^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow x(3x - 6) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, 3) ∪ [3, +∞)\)

d) Ta có:

\(|2x + 3|\, = \,|4 - 3x|\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 - 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x - 4 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \)

Bài 70 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

b) 4x² + 4x - |2x + 1| ≥ 5

Đáp án

a) Áp dụng:

|A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B

|x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

⇔ -x² – 6x – 5 ≤  x² – 5x + 4 ≤ x² + 6x + 5

\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + x + 9 \ge 0 \hfill \cr
11x \ge - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over {11}}\)

Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over {11}}; + \infty )\)

b) Ta có: 4x² + 4x - |2x + 1| ≥ 5

⇔ |2x + 1| ≤ 4x² + 4x – 5

⇔ -4x² – 4x + 5 ≤ 2x + 1 ≤ 4x² + 4x – 5

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4{x^2} + 6x - 4 \ge 0 \hfill \cr
4{x^2} + 2x - 6 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - {3 \over 2} \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\)

Bài 71 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các phương trình sau

a) \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4}  = 2(x - 1)\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 12}  = {x^2} + 3x\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
5{x^2} - 6x - 4 = 4{(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2 \cr} \) 

Vậy S = {2}

b) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} - 12\) , ta có phương trình:

\(t = {t^2} - 12 \Leftrightarrow {t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 4 \hfill \cr
t = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Ta thấy t =  4 thỏa mãn điều kiện xác định nên:

\(\eqalign{
& t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy S = {4, 1}

Bài 72 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các bất phương trình sau

a) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 8}  \le 2x + 3\)

b) \({{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\)

c) \(6\sqrt {(x - 2)(x - 32)}  \le {x^2} - 34x + 48\)

Đáp án

a)

Áp dụng:

\(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A \ge 0 \hfill \cr
B \ge 0 \hfill \cr
A \le {B^2} \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 6x + 8 \le {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x \ge - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le {{ - 3 - \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr
x \ge {{ - 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} - 1 \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} - 1, + \infty )\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 3x - 10} < 2x - 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
2x - 4 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 3x - 10 < {(2x - 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < - 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x > 2 \hfill \cr
3{x^2} - 13x + 26 > 0\,\,(\forall x) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 5 \cr} \)

Vậy \(S = (5, +∞)\)

c) Đặt \(y = \sqrt {(x - 2)(x - 32)}  = \sqrt {{x^2} - 34x + 64} \,\,\,(y \ge 0)\)

⇒ x² – 34x = y² – 64

Ta có bất phương trình:

6y ≤ y²  - 16 ⇔ y² – 6y – 16 ≥ 0 ⇔ y ≤ 2 hoặc y ≥ 8

Với điều kiện y ≥ 0, ta có:

y ≥ 8 ⇔  x² – 34x + 64 ≥ 64 ⇔  x² – 34x ≥ 0

⇔  x ≤ 0 hoặc x ≥ 34

Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [34, +∞)\)

Giaibaitap.me