Bài 4 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 4. Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng \(0\) ?

Hướng dẫn trả lời

Ta có  \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\,\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos (\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b )\), do đó

+) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  > 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) < {90^0}\);

+) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  < 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) > {90^0}\);

 +) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a  \bot \overrightarrow {b.}\)

Bài 5 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 5. Cho tam giác \(ABC\). Tổng \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} )\) có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau : \({90^0}\,;\,{180^0}\,;\,{270^{0\,}}\,;\,{360^0}\) ?

Hướng dẫn trả lời

Ta có

 \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {180^0} - \widehat B\,\,;\,\,(\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) = {180^0} - \widehat C\,\,;\,\,(\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {180^0} - \widehat A\)

Do đó  \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {360^0}\) 

Bài 6 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 6. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và \(\widehat B = {30^0}\). Tính giá trị của các biểu thức sau

a) \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \sin (\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \tan {{(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} )} \over 2}\);

b) \(\sin (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} )\).

Hướng dẫn trả lời

a) Ta có

 \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {150^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {30^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}\)

Do đó

\(\eqalign{
& \cos (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \sin (\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \tan {{(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} )} \over 2} = \cos {150^0} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{0}}^0} + \tan {60^0} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{{ - \sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2} + \sqrt 3 = {{\sqrt 3 + 1} \over 2} \cr} \)

b) Ta có \((\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} ) = {90^0}\) ,do đó

\(\eqalign{
& \sin (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} ) = \sin {90^0} + \cos {30^0} + \cos {90^0} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{2 + \sqrt 3 } \over 2} \cr} \) 

Bài 7 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 7. Cho bốn điểm bất kì \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB}  = 0\).

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.

Hướng dẫn trả lời

Ta có

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} ) + \overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} ) \cr
& = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \)

Gọi \(D\) là giao điểm của hai đường cao \(AA', BB'\) của tam giác \(ABC\).

Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC}  = 0\,;\,\,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA}  = 0\)                 

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB}  = 0\), do đó \(DC \bot AB\). Vậy \(D\) nằm trên đường cao \(CC'\) của tam giác \(ABC\), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.

Giaibaitap.me