Bài 8 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 8. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC}  = A{B^2}\).

Hướng dẫn trả lời

Ta có \(\overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BC}  = {\overrightarrow {BA} ^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} (\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} ) = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {AC}  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,BA \bot AC\)                                 

\( \Leftrightarrow \)  Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Bài 9 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 9. Cho tam giác \(ABC\) với ba đường trung tuyến \(AD, BE, CF\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF}  = 0\).

Hướng dẫn trả lời

Ta có \(\overrightarrow {AD}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BE} = {1 \over 2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) \cr
& \overrightarrow {CF} = {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr} \)

Do đó  \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} \)

\(\eqalign{
& = {1 \over 2}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {CA} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ) \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} )\cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {BC} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \overrightarrow {BC} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {CA} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CA} ) = 0 \cr} \)

(điều phải chứng minh)

Bài 10 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 10. Cho hai điểm \(M, N\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM, BN\).

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)

b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo \(R\).

Hướng dẫn trả lời

a) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\,\overrightarrow {AI}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} ).\,\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AI} \) ( vì \(\overrightarrow {BM} .\,\overrightarrow {AI}  = 0\) ).

Tương tự, \(\overrightarrow {BN} .\,\overrightarrow {BI}  = (\overrightarrow {BA}  + \,\overrightarrow {AN} ).\,\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA} .\,\overrightarrow {BI} \) ( vì \(\overrightarrow {AN} .\,\overrightarrow {BI}  = 0\) ).

b)  Theo câu a), \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \, + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)

\( = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {BI} ) = \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AB}  = A{B^2} = 4{R^2}.\)

Bài 11 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 11. Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\). Trên \(a\) có hai điểm \(A\) và \(B\), trên \(b\) có hai điểm \(C\) và \(D\) đều khác \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \,\,\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn trả lời

Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(D'\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) ( \({D'} \ne C\)).

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \,\,\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}} ) = 0 \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MC} .\,\overrightarrow {{D'}D} = 0\,\,\,\, \cr} \)

\(\Rightarrow \,\overrightarrow {{D'}D}  = 0\)  (Do \(M, C, D, D'\) cùng thuộc đường thẳng b)

\( \Rightarrow D \equiv {D'}\).

Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Giaibaitap.me