Bài 3.54 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng  \(\Delta :x + y - 5 = 0\). \(\Delta :x + y - 5 = 0\)

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.14) 

Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, suy ra N(11 ; -1) và điểm N thuộc đường thẳng CD.

\(E \in \Delta  \Rightarrow E(x;5 - x)\,;\,\overrightarrow {IE}  = (x - 6;3 - x)\)

và: \(\overrightarrow {NE}  = (x - 11;6 - x)\)

E là trung điểm của CD \( \Rightarrow IE \bot EN.\)

\(\overrightarrow {IE} .\overrightarrow {NE}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x - 11} \right) + \left( {3 - x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0\)

\(\overrightarrow {IE} .\overrightarrow {NE}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x - 11} \right) + \left( {3 - x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 6\) hoặc x = 7

Với \(x = 6 \Rightarrow \overrightarrow {IE}  = (0;3),\)

Phương trình \(AB:y - 5 = 0.\)

Với \(x = 7 \Rightarrow IE = \left( {1; - 4} \right),\)

Phương trình \(AB:x - 4y + 19 = 0.\)

Bài 3.55 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : \({(x - 2)^2} + {y^2} = {4 \over 5}\) và đường thẳng \({\Delta _1}:x - y = 0\), \({\Delta _2}:x - 7y = 0\). Xác định tọa độ tâm K vàn bán kính của đường tròn (C1) ; biết đường tròng (C1) tiếp xúc với các đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và tâm K không thuộc đường tròn (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.15)

Gọi \(K\left( {a;b} \right)\,;\,k \in (C) \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} = {5 \over 4}\,\,\,\,\,(1)\)

\(({C_1})\) tiếp xúc với \({\Delta _1},{\Delta _2} \Leftrightarrow {{\left| {a - b} \right|} \over {\sqrt 2 }} = {{\left| {a - 7b} \right|} \over {5\sqrt 2 }}\,\,(2).\)

Từ (1) và (2) cho ta : 

\(\left\{ \matrix{
5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr
5\left| {a - b} \right| = \left| {a - 7b} \right| \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr
5\left( {a - b} \right) = a - 7b \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(I)\,\,\,\)

và 

\(\left\{ \matrix{
5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr
5(a - b) = 7b - a \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,(II)\)

\((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
25{a^2} - 20a + 16 = 0 \hfill \cr
b = - 2a \hfill \cr} \right.\)

(vô nghiệm)

\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2b \hfill \cr
25{b^2} - 40b + 16 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {{8 \over 5};{4 \over 5}} \right).\)

Bán kính (C1): \(R = {{\left| {a - b} \right|} \over {\sqrt 2 }} = {{2\sqrt 2 } \over 5}.\)

Vậy \(K\left( {{8 \over 5};{4 \over 5}} \right)\) và \(R = {{2\sqrt 2 } \over 5}.\)

Bài 3.56 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y - 1 = 0

Gợi ý làm bài

Ta gọi \({d_1}:x - y + 2 = 0\) và \({d_2}:4x + 3y - 1 = 0\).

Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua \({d_1}\)

Khi đó H' thuộc đường thẳng AC (h.3.16). 

\(\overrightarrow u  = (1;1)\) là vectơ chỉ phương của \({d_1}\), \(\overrightarrow {HH'}  = \left( {a + 1;b + 1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow u \) và trung điểm \(I\left( {{{a - 1} \over 2};{{b - 1} \over 2}} \right)\) của \(\overrightarrow {HH'} \) thuộc \({d_1}\). Do đó tọa độ của H' là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
1.\left( {a + 1} \right) + 1\left( {b + 1} \right) = 0 \hfill \cr
{{a - 1} \over 2} - {{b - 1} \over 2} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H'( - 3;1).\)

Đường thẳng AC đi qua H' vuông góc với \({d_2}\) nên có viectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow v  = \left( {3; - 4} \right)\), suy ra AC có phương trình là : 

\(\eqalign{
& 3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0. \cr} \)

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình  \(\left\{ \matrix{
3x - 4y + 13 = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow A(5;7).\)

Đường thẳng CH đi qua H (-1 ; -1) với vectơ pháp tuyến là \({1 \over 2}\overrightarrow {HA}  = \left( {3;4} \right)\) nên có phương trình là: 

\(3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 7 = 0.\)

Tọa độ của C là nghiệm của phương trình

\(\left\{ \matrix{
3x + 4y + 7 = 0 \hfill \cr
3x - 4y + 13 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( { - {{10} \over 3};{3 \over 4}} \right).\)

Bài 3.57 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y - 3 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \({\Delta _1}\) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng \({\Delta _2}\) bằng \({1 \over {\sqrt 2 }}\).

Gợi ý làm bài

Khoảng cách từ M đến \({\Delta _2}\) là \(d(M,{\Delta _2}) = {{\left| {2t + 3 + t + 1} \right|} \over {\sqrt 2 }}\)

\(d(M,{\Delta _2}) = {1 \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 1 \hfill \cr
t = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Vậy M(1;-1) hoặc \(M\left( { - {1 \over 3}; - {5 \over 3}} \right).\)

Giaibaitap.me