Bài 13 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \((x - 1) + {(y - 2)^2} = 4\) và hai điểm A(1 ; 4),     . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.36)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.

Ta có \({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1\)

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2 = R\)

\(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2} - 2} \right)}^2}}  = {3 \over 2} < R.\)

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có:

\({{{S_{AMN}}} \over {{S_{IMN}}}} = {{AK} \over {IH}} = {{AB} \over {IB}} = {{{7 \over 2}} \over {{3 \over 2}}} = {7 \over 3}.\)

Suy ra \({S_{AMN}} = {7 \over 3}{S_{IMN}}\)

\( = {7 \over 3}.{1 \over 2}.I{\rm{I}}\sin MIN\)

\( = {{14} \over 3}\sin MIN \le {{14} \over 3}.\)

\({S_{AMN}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow IH = {{R\sqrt 2 } \over 2} \Leftrightarrow d(I,MN) = \sqrt 2 \)

Phương trình đường thẳng MN là : 

\(y - {1 \over 2} = k(x - 1) \Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& d(I,MN) = \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|} \over {\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 3 = \sqrt {8({k^2} + 1)}  \Leftrightarrow k =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}.\)

Vậy phương trình đường thẳng d là : \(y =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}\left( {x - 1} \right) + {1 \over 2}\).

Bài 14 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật biết tọa độ hai đỉnh đối diện là (1 ; -5) và (6 ; 2), phương trình của một đường chéo là 5x + 7y - 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.37)

Đặt A(1 ; -5), C(6 ; 2) và BD có phương trình:

5x + 7y - 7 = 0.

Đặt \({x_B} = 7t\) ta có \({y_B} = 1 - 5t.\)

Vậy B(7t;1 - 5t).

Suy ra: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1 - 7t; - 6 + 5t} \right)\)

\(\overrightarrow {BC}  = (6 - 7t;1 + 5t).\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - 7t} \right)\left( {6 - 7t} \right) + \left( {1 + 5t} \right)\left( { - 6 + 5t} \right) = 0 \cr} \)

\(\Leftrightarrow 74{t^2} - 74t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy B(0 ; 1); D(7 ; -4) hoặc B(7 ; -4); D(0 ; 1).

Bài 15 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB: 3x + 5y - 33 = 0; đường cao  AH: 7x + y - 13 = 0; trung tuyến BM: x + 6y - 24 = 0 (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.38)

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB) \hfill \cr
7x + y - 13 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(AH). \hfill \cr} \right.\)

Vậy A(1 ; 6)

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB) \hfill \cr
x + 6y - 24 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(BM) \hfill \cr} \right.\)

Vậy B(6 ; 3).

Đặt C(x;y) ta suy ra trung điểm M của AC có tọa độ \(M\left( {{{x + 1} \over 2};{{y + 6} \over 2}} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {x - 6;y - 3} \right)\)

\({\overrightarrow u _{AH}} = (1; - 7)\)

Ta có: \(\left\{ \matrix{
M \in BM \hfill \cr
\overrightarrow {BC} .{\overrightarrow u _{AH}} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
\left( {{{x + 1} \over 2}} \right) + 6\left( {{{y + 6} \over 2}} \right) \hfill \cr
x - 6 - 7(y - 3) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 6y - 11 = 0 \hfill \cr
x - 7y + 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 2. \hfill \cr} \right.\)

Vậy C(-1 ; 2).

Phương trình cạnh BC: x - 7y + 15 = 0

Phương trình cạnh AC: 2x - y + 4 = 0.

Giaibaitap.me