Bài 9 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−5)2+(y−3)2=4. Và điểm A(1 ; 2), một đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài bằng 2√3. Viết phương trình của d.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.32)
Đường tròn (C) có tâm I(5 ; 3) và có bán kính R = 2.
Gọi H là trung điểm của MN. Ta có
IH⊥MN và MH=MN2=√3
IH=√IM2−MH2=√4−3=1.
Phương trình đường thẳng d có dạng :
y−2=k(x−1)⇔kx−y+2−k=0.
Ta có IH = 1
⇔|5k−3+2−k|√k2+1=1
⇔|4k−1|=√k2+1⇔(4k−1)2=k2+1
⇔15k2−8k=0⇔[k=0k=815
Vậy có hai điểm d thỏa mãn đề bài.
Đó là d1:y−2=0
d2:y−2=815(x−1)⇔8x−15y+22=0.
Bài 10 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): x225+y29=1. Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là F1,F2 và M thuộc (E) sao cho ^F1MF2=60∘ . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác MF1F2
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.33)
Elip (E) có phương trình chính tắc: x225+y29=1.
Ta có : a = 5, b = 3. Suy ra c2=a2−b2=25−9=16.
Vậy c = 4.
Xét điểm M(x;y) thuộc elip, ta có:
{F1M=a+cax=5+45xF2M=a−cax=5−45x
Áp dụng định lí côsin trong tam giác F1MF2 ta có:
F1F22=MF21+MF22−2MF1.MF2cos60∘
⇔4c2=(5+45x)2+(5−45x)2−2(25−1625x2).12
⇔64=25+4825x2⇔x2=2516.13⇔x=±54√13(1)
Ta lại có: M∈(E)⇒x225+y29=1(2)
Thay (1) vào phương trình (2) ta được:
y29=1−1316⇔y2=916.3⇔y=±34√3.
Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là (±54√13;±34√3).
Bài 11 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2 ; 4), B(1 ; 1), C(5 ; 5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.34)
Ta có : IB=√(1−2)2+(1−4)2=√10
IC=√(5−2)2+(5−4)2=√10IB=IC⇒AB=AC.
Gọi M là trung điểm của BC, ta có M(3 ; 3).
Phương trình đường thẳng IM:x+y−6=0(1)
Phương trình đường thẳng IB:3x−y−2=0(2)
Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB. Đặt N(x;y), ta có tọa độ trung điểm H của MN là (x+32;y+32).
→MN=(x−3;y−3)
→BI=(1;3)
Ta có: {→MN.→BI=0H∈IB
⇔{x−3+3(y−3)=03(x+32)−(y+32)−2=0
⇔{x+3y−12=03x−y+2=0⇔{x=35y=195.
Vậy N(35;195).
Ta có B(1 ; 1). Phương trình đường thẳng BN: 7x + y - 8 = 0.
Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình
⇔{7x+y−8=0x+y−6=0⇔{x=13y=173
Vậy tọa độ điểm A là (13;173).
Bài 12 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): x2a2+y2b2=1(a>b>1). Một góc vuông uOv (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng 1OM2+1ON2 không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.35)
Gọi y = kx và y=−1kx là phương trình của Ou và Ov.
Phương trình hoành độ giao điểm của Ou và elip (E):
x2a2+k2x2b2=1⇔x2M=a2b2b2+k2a2.
Ta có :
OM2=x2M+y2M=x2M+k2x2M=x2M(k2+1)=a2b2(1+k2)b2+k2a2
.............
Suy ra : 1OM2=b2+k2a2a2b2(1+k2).
Tương tự:
1ON2=b2+1k2a2a2b2(1+1k2)=a2+k2b2a2b2(1+k2).
Suy ra:
1OM2+1ON2=a2+b2+k2(a2+b2)a2b2(1+k2)=a2+b2a2b2.
Vậy 1OM2+1ON2 không đổi.
Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN.
Ta có : 1OH2=1OM2+1ON2=a2+b2a2b2.
Suy ra: OH=ab√a2+b2=R không đổi
Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính R=ab√a2+b2.
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 198 bài đề toán tổng hợp cuối năm Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)...
Giải bài tập trang 198, 199 bài đề toán tổng hợp cuối năm Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O...
Giải bài tập trang 199 bài đề toán tổng hợp cuối năm Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(2;-1)...
Giải đề kiểm tra 1 phần ôn tập cuối năm trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi OABC có tâm đối xứng là...