Bài 3.62 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: \({d_1}:x - y = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc \({d_1}\) , đỉnh C thuộc \({d_2}\) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.21) 

Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t} \right).\)

Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \(B,D \in Ox\) nên \(C\left( {t; - t} \right)\)

Vì \(C \in {d_2}\) nên \(2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\). Vậy A(1 ; 1), C(1 ; -1). 

Trung điểm AC là I(1 ; 0). Vì I là tâm hình vuông nên 

\(\left\{ \matrix{
IB = IA = 1 \hfill \cr
ID = IA = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
B \in Ox \hfill \cr
D \in Ox \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
B(b;0) \hfill \cr
D(d;0) \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
\left| {b - 1} \right| = 1 \hfill \cr
\left| {d - 1} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = 0,b = 2 \hfill \cr
d = 0,d = 2. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Suy ra B(0 ; 0) và D(2 ; 0) hoặc B(2 ; 0), D(0 ; 0).

Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1 ; 1),  B(0 ; 0), C(1 ; -1), D(2 ; 0)

hoặc A(1 ; 1),  B(2 ; 0), C(1 ; -1), D(0 ; 0). 

Bài 3.63 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.

Gợi ý làm bài

Gọi tâm của (C)  là I(a;b) và bán kính của (C)  là R.

(C)  tiếp xúc với Ox tai A \( \Rightarrow a = 2\) và \(\left| b \right| = R\)

\(IB = 5 \Leftrightarrow {\left( {6 - 2} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 7 = 0 \Leftrightarrow b = 1,b = 7.\)

Với a = 2, b = 1 ta có đường tròn (C 1): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

Với a = 2, b = 7 ta có đường tròn (C 2): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 49.\)

Bài 3.64 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\) và đường thẳng  d: x - y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài vơi đường tròng (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.22)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = 1.

Vì \(M \in d\) nên M(x;x + 3). Yêu cầu của bài toán tương đương với:

\(MI = R + 2R \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow x = 1,x =  - 2\)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(1 ; 4) và M(-2 ; 1). 

Bài 3.65 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)  : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) và đường thẳng  d: x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C ’) đối xứng vơi đường tròng (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C ’) và (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.23)

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right).\) Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với d có phương trình :

\({{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over { - 1}} \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.\)

Tọa độ giao điểm H của d và  là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \matrix{
x - y - 1 = 0 \hfill \cr
x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {2;1} \right)\)

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó : 

\(\left\{ \matrix{
{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3 \hfill \cr
{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow J(3;0).\)

Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là \(J\left( {3;0} \right)\) và bán kính R = 2. 

Do đó (C ’) có phương trình là : 

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \matrix{
{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4 \hfill \cr
{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - y - 1 = 0 \hfill \cr
{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = x - 1 \hfill \cr
2{x^2} - 8x + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,y = 0 \hfill \cr
x = 3,y = 2. \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).

Giaibaitap.me