Bài 3.66 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm \(I\left( {{1 \over 2};0} \right)\) phương trình đường thẳng AB là : x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.24)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB bằng 

\({{\sqrt 5 } \over 2}\) \(\Rightarrow AD = \sqrt 5 \) và \(IA = IB = {5 \over 2}.\)

Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính \(R = {5 \over 2}.\)

Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ : 

\(\left\{ \matrix{
x - 2y + 2 = 0 \hfill \cr
{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {{5 \over 2}} \right)^2} \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ ta được \(A( - 2;0),B(2;2)\) (vì \({x_A} < 0\))

\( \Rightarrow C\left( {3;0} \right),D\left( { - 1; - 2} \right).\)

Bài 3.67 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là :  \(\sqrt 3 x - y - \sqrt 3  = 0\), các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

( Xem hình 3.25)

Ta có: \(BC \cap Ox = B(1;0)\)

Đặt \({x_A} = a\) ta có A(a;0) và \({x_C} = a \Rightarrow {y_C} = \sqrt 3 a - \sqrt 3 .\)

Vậy \(C\left( {a;\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).\)

Từ công thức

\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {1 \over 3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) \hfill \cr
{y_G} = {1 \over 3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(G\left( {{{2a + 1} \over 3};{{\sqrt 3 \left( {a - 1} \right)} \over 3}} \right).\)

Mà \(AB = \left| {a - 1} \right|,AC = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|,BC = 2\left| {a - 1} \right|\). Do đó : 

\({S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {{\sqrt 3 } \over 2}{\left( {a - 1} \right)^2}.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& r = {{2S} \over {AB + AC + BC}} \cr
& = {{\sqrt 3 {{\left( {a - 1} \right)}^2}} \over {3\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|}} = {{\left| {a - 1} \right|} \over {\sqrt 3 + 1}} = 2. \cr} \)

Vậy \(\left| {a - 1} \right| = 2\sqrt 3  + 2.\)

Trường hợp 1. 

\({a_1} = 2\sqrt 3  + 3 \Rightarrow {G_1}\left( {{{7 + 4\sqrt 3 } \over 3};{{6 + 2\sqrt 3 } \over 3}} \right).\)

Trường hợp 2. 

\({a_2} =  - 2\sqrt 3  - 1 \Rightarrow {G_2}\left( {{{4\sqrt 3  - 1} \over 3};{{ - 6 - 2\sqrt 3 } \over 3}} \right).\)

Bài 3.68 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E): \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Gợi ý làm bài

Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\)

Ta có : \(A{B^2} = 4y_0^2\) và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.\)

Vì \(A \in (E)\) nên \({{x_0^2} \over 4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - {{x_0^2} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì AB = AC nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được 

\(7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_0} = 2 \hfill \cr
{x_0} = {2 \over 7}. \hfill \cr} \right.\)

Với \({x_0} = 2\) thay vào (1) ta có \({y_0} = 0.\) Trường hợp này loại vì \(A \equiv C.\)

Với \({x_0} = {2 \over 7}\) thay vào (1) ta có \({y_0} =  \pm {{4\sqrt 3 } \over 7}.\)

Vậy \(A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\)

Giaibaitap.me