Bài 3.58 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x - 2y + 3 = 0.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.17)

\(\eqalign{
& A \in Ox\,,\,B \in Oy \cr
& \Rightarrow A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right),AB = \left( { - a;b} \right). \cr} \)

Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\)

Tọa độ trung điểm I của AB là \(\left( {{a \over 2};{b \over 2}} \right)\).

A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
I \in d \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2a + b = 0 \hfill \cr
{a \over 2} - b + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 4. \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;4} \right).\)

Bài 3.59 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. 

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.18)

Ta có \(M\left( { - 1;0} \right),N\left( {1; - 2} \right),AC = \left( {4; - 4} \right)\)

Giả sử H(x;y) . Ta có : 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \hfill \cr
H \in AC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4(x + 2) - 4(y + 2) = 0 \hfill \cr
4x + 4(y - 2) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {1;1} \right). \cr} \)

Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:

\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1).\)

Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện : 

\(\left\{ \matrix{
2a - c = 1 \hfill \cr
2a - 4b + c = - 5 \hfill \cr
2a + 2b + c = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - {1 \over 2} \hfill \cr
b = {1 \over 2} \hfill \cr
c = - 2. \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 

\({x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\)

Bài 3.60 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;2) và các đường thẳng

\({d_1}:x + y - 2 = 0\); \({d_2}:x + y - 8 = 0\)

 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc  \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Gợi ý làm bài

(xem hình 3.19)

Vì \(B \in {d_1},C \in {d_2}\) nên \(B\left( {b;2 - b} \right),C\left( {c;8 - c} \right).\)

Tam giác ABC vuông cân tại A

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr
AB = AC \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
bc - 4b - c + 2 = 0 \hfill \cr
{b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(b - 1)(c - 4) = 2 \hfill \cr
{(b - 1)^2}{(c - 4)^2} = 3. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :

\(\left\{ \matrix{
x.y = 2 \hfill \cr
{x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

hoặc 

\(\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 1. \hfill \cr} \right.\)

Vậy B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5;3)

Bài 3.61 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) và đường thẳng d: 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C)  (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.20)

(C) có tâm I(1 ; -2) và bán kính R = 3. Ta có tam giác PAB đều thì \(IP = 2IA = 2R = 6 \Leftrightarrow P\) thuộc đường tròn (C ’) có tâm I, bán kính R'=6.

Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C ’) tại P \( \Leftrightarrow d(I,d) = 6\) 

\( \Leftrightarrow m = 19,\,\,m =  - 41.\)

Giaibaitap.me