Bài 5 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (T) có phương trình:

\({x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0\)

a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (T).

b) Tìm m để đường thẳng y = x + m có điểm chung với đường tròn (T).

c) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với đường tròn (T) biết rằng \(\Delta \) vuông góc vơi đường thẳng d có phương trình \x - y + 2006 = 0.

Gợi ý làm bài

a) Đường tròn (T) có tâm là điểm (2 ; 1) và có bán kính bằng \(\sqrt 2 \)

b) Đường thẳng \(l:x - y + m = 0\). Ta có : 

\(l\) có điểm chung với (T)

\( \Leftrightarrow d(I,l) \le R\)

\( \Leftrightarrow {{\left| {2 - 1 + m} \right|} \over {\sqrt 2 }} \le \sqrt 2 \)

\(\eqalign{
& \left| {m + 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow - 2 \le m + 1 \le 2 \cr
& \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1. \cr} \)

c) \(\Delta  \bot d\) nên \(\Delta \) có phương trình x + y + c = 0.

Ta có : \(\Delta \) tiếp xúc với (T) khi và chỉ khi:

\(d(I,\Delta ) = R\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{\left| {2 + 1 + c} \right|} \over {\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {c + 3} \right| = 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c + 3 = 2 \hfill \cr
c + 3 = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = - 1 \hfill \cr
c = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy có hai tiếp tuyến với (T) thỏa mãn đề bài là : 

\({\Delta _1}:x + y - 1 = 0\)

\({\Delta _2}:x + y - 5 = 0.\)

Bài 6 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\)

a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của (E).

c) Đường thẳng  đi qua tiêu điểm thứ hai của elip (E) và vuông góc với trục Ox và cắt (E) tại hai điểm C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Gợi ý làm bài

a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\)  nên \(c = \sqrt 3 .\)

Phương trình chính tăc của (E) có dạng

\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\)

Ta có : \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)

\( \Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)

Thay vào (1) ta được : 

\(\eqalign{
& {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr
& \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr} \)

\( \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Suy ra \({a^2} = 4.\)

Ta có a = 2 ; b = 1. 

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)

                                    (0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là : 

\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3 .\)

Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta \) và (E) là : 

\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} =  \pm {1 \over 2}.\)

Suy ra tọa độ của C và D là : 

\(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)

Vậy CD = 1. 

Bài 7 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} - 6x - 6y + 14 = 0\). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \({60^ \circ }\).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.30)

Đường tròn (C) có tâm I(3 ; 3) và có bán kính

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {9 + 9 - 14}  = 2\)

Điểm M(x;0) thuộc Ox.

Từ M kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại A và B. Ta có:

\(\widehat {AMB} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {IMB} = {30^ \circ }\)

\( \Rightarrow IM = {R \over {\sin {{30}^ \circ }}} = 2R = 4\)

\(IM = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9}  = 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 \)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn đề bài, chúng có tọa độ là : 

\({M_1}\left( {3 + \sqrt 7 ;0} \right)\) và \({M_2}\left( {3 - \sqrt 7 ;0} \right)\)

Bài 8 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho đường tròn (C) tâm I(1 ; -2), bán kính R và điểm K(1 ; 3).

a) Cho R = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua K;

b) Xác định R để từ K vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) lần lượt tại hai điểm \({M_1},{M_2}\) sao cho diện tích tứ giác \(K{M_1}I{M_2}\) bằng \(2\sqrt 6 \).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.31)

a) R = 1. Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm K(1 ; 3) và có hệ số góc m. \(\Delta \) có phương trình y = m(x - 1) + 3

\( \Leftrightarrow mx - y + (3 - m) = 0.\)

Ta có \(\Delta \) tiếp xúc vơi (C) \( \Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)

\( \Leftrightarrow {{\left| {m + 2 + 3 - m} \right|} \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {5 \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 25\)

\( \Leftrightarrow m =  \pm 2\sqrt 6 \)

Vậy qua điểm K có hai tiếp tuyến với (C). Đó là : 

\({\Delta _1}:y = 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3\) và \({\Delta _2}:y =  - 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3.\)

b) Ta có: \(KI = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 2} \right)}^2}}  = 5\)

\(K{M_2} = \sqrt {K{I^2} - {R^2}}  = \sqrt {25 - {R^2}} .\)

Ta có : \({S_{K{M_1}I{M_2}}} = 2\sqrt 6 \)

\( \Leftrightarrow 2{S_{I{M_2}K}} = 2\sqrt 6 \)

\( \Leftrightarrow I{M_2}.K{M_2} = 2\sqrt 6 \)

\( \Leftrightarrow R\sqrt {25 - {R^2}}  = 2\sqrt 6 \)

\( \Leftrightarrow {R^2}\left( {25 - {R^2}} \right) = 24\)

\(\Leftrightarrow {R^4} - 25{R^2} + 24 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{R^2} = 1 \hfill \cr
{R^2} = 24 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
R = 1 \hfill \cr
R = 2\sqrt 6 \hfill \cr} \right.\)

Vậy bán kính đường tròn bằng 1 hoặc \(2\sqrt 6 .\)

Giaibaitap.me