Bài 3.46 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;1).

a) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng  d: x - y - 1 = 0 tại M(2;1) và có tâm nằm trên đường thẳng  d' :x - 2y - 6 = 0

b) Lập phương trình tiếp tuyến với  (C)  biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng m: x - y + 3 = 0

Gợi ý làm bài

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với d có phương trình \(\Delta :x + y + C = 0\). \(\Delta \) qua M nên C = -3. Vậy \(\Delta :x + y - 3 = 0\)

Tọa độ tâm I của đường tròn (C)  là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x + y - 3 = 0 \hfill \cr
x - 2y - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I(4; - 1).\)

Bán kính \(R = IM = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn cần tìm có tâm I(4;-1) và có bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là:

\({(x - 4)^2} + {(y + 1)^2} = 8.\)

b) Đường thẳng m: x - y + 3 = 0 Tiếp tuyến \(\Delta '\) với (C) vuông góc với đường thẳng m nên \(\Delta '\) có phương trình : x + y + c = 0

\(\Delta '\) là tiếp tuyến với (C)  \( \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta '} \right] = R\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta '} \right] = R \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {4 - 1 + c} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 1 \hfill \cr
c = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là : 

\(\left[ \matrix{
\Delta {'_1}:x + y + 1 = 0 \hfill \cr
\Delta {'_2}:x + y - 7 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Bài 3.47 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C)  đi qua A(1;-6) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y + 1 = 0\) tại B( - 2;3).

Gợi ý làm bài

Gọi I(a;b) là tâm của (C).

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AI} = (a - 1;b + 6); \cr
& \,\overrightarrow {BI} = (a + 2;b - 3)\,; \cr
& \,{\overrightarrow u _\Delta } = ( - 1;2) \cr} \)

là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)

Ta có : IA = IB = R và 

\(IB \bot \Delta \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr
{\overrightarrow u _\Delta }.\overrightarrow {BI} = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(a - 1)^2} + {(b + 6)^2} = {(a + 2)^2} + {(b - 3)^2} \hfill \cr
- 1.(a + 2) + 2.(b - 3) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6a - 18b = 24 \hfill \cr
- a + 2b = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 32 \hfill \cr
b = - 12 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({R^2} = A{I^2} = {( - 33)^2} + {( - 6)^2} = 1125\)

Vậy (C) : \({(x + 32)^2} + {(y + 12)^2} = 1125\)

Bài 3.48 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho đường tròn  (C) : \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0.\)

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính của đường tròn  (C)  ;

b) Viết phương trình tiếp tuyến  của đườn tròn (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 5x + 12y + 2012 = 0.

Gợi ý làm bài

a) (C) có tâm I(3;-1) và R = 5.

b) Tiếp tuyến \(\Delta \) song song với d \( \Rightarrow \Delta :5x + 12y + c = 0\,(c \ne 2012)\)

\(\Delta \) tiếp xúc với (C) \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{\left| {5.3 + 12.( - 2) + c} \right|} \over {\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {c - 9} \right| = 65 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 74 \hfill \cr
c = - 56 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(\Delta :5x + 12y + 74 = 0\) hay \(\Delta :5x + 12y - 56 = 0.\)

Bài 3.49 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1.\)

Tìm tọa độ những điểm M trên (E) sao cho : \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\)

Gợi ý làm bài

Ta có \(a = 8\,;\,b = 4\sqrt 3 \,;\,c = 4\,;\,{c \over a} = {1 \over 2}\,.\)

\(\eqalign{
& M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1\,\,\,(1)\,\,; \cr
& \,{F_1}M = 8 + {x \over 2};\,{F_2}M = 8 - {x \over 2}. \cr} \)

Theo giả thiết ta có: 

\(\eqalign{
& 8 + {x \over 2} + 2\left( {8 - {x \over 2}} \right) = 26 \cr
& \Leftrightarrow 24 - {x \over 2} = 26 \Leftrightarrow x = - 4. \cr} \)

Thay vào (1) ta được:

\({{16} \over {64}} = {{{y^2}} \over {48}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 36 \Leftrightarrow y =  \pm 6.\)

Vậy \(M( - 4; \pm 6).\)

Giaibaitap.me