Bài 3.43 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Một đỉnh là (0;-2) và một tiêu điểm là (-1;0) ;

b) Tiêu cự bằng 6, tỉ số \({c \over a}\) bằng \({3 \over 5}\).

Gợi ý làm bài

a) \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\);

b) \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\)

Bài 3.44 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho elip (E) : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng  \(\Delta \) thay đổi có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn \(25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}\). Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm  \({F_1}\), \({F_2}\) của (E) đến đường thẳng \(\Delta \)

Gợi ý làm bài

\((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

Ta có:

\({a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\)

\( \Rightarrow c = 4.\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\). Ta có : 

\({d_1} = d({F_1},\Delta ) = {{\left| { - 4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

\({d_2} = d({F_2},\Delta ) = {{\left| {4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

Suy ra: 

\({d_1}{d_2} = {{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}}.\,\,\,(1)\)

Thay \({C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}\) vào (1) ta được : 

\(\eqalign{
& {d_1}{d_2} = {{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr
& = {{9({A^2} + {B^2})} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr} \)

Vậy \({d_1}{d_2} = 9.\)

Bài 3.45 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho elip (E): \({x^2} + 4{y^2} = 16\).

a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;{1 \over 2}} \right)\) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1;2)\)

c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng \(\Delta \) và elip (E). Chứng minh MA = MB.

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{
& (E):{x^2} + 4{y^2} = 16 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1. \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& {a^2} = 16,{b^2} = 4 \cr
& \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 12 \cr} \)

\( \Rightarrow c = 2\sqrt 3 .\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right)\) và \({F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)\)

và các đỉnh \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\), \({A_2}\left( {4;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 2} \right)\), \({B_2}\left( {0;2} \right)\)

b) Phương trình \(\Delta \)  có dạng : 

\(1.(x - 1) + 2.(y - {1 \over 2}) = 0\)

hay \(x + 2y - 2 = 0\)

c) Tọa độ của giao điểm của \(\Delta \) và (E) là nghiệm của hệ : 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 4{y^2} = 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
x = 2 - 2y.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Thay (2) vào (1) ta được : 

\({\left( {2 - y} \right)^2} + 4{y^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {(1 - y)^2} + {y^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y - 3 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Phương trình (3) có hai nghiệm \({y_A}\), \({y_B}\) thỏa mãn

\({{{y_A} + {y_B}} \over 2} = {2 \over 4} = {1 \over 2} = {y_M}.\)

 Vậy MA = MB.

Ta có: \({y_A} = {{1 - \sqrt 7 } \over 2}\), \({y_B} = {{1 + \sqrt 7 } \over 2}\)

\({x_A} = 1 + \sqrt 7 \), \({x_B} = 1 - \sqrt 7 \)

Vậy A có tọa độ là \(\left( {1 + \sqrt 7 ;{{1 - \sqrt 7 } \over 2}} \right)\), B có tọa độ là \(\left( {1 - \sqrt 7 ;{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right).\)

Giaibaitap.me