Bài 3.43 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Một đỉnh là (0;-2) và một tiêu điểm là (-1;0) ;

b) Tiêu cự bằng 6, tỉ số ${c \over a}$ bằng ${3 \over 5}$.

Gợi ý làm bài

a) $(E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1$;

b) $(E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.$

Bài 3.44 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho elip (E) : ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$ và đường thẳng  $\Delta$ thay đổi có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn $25{A^2} + 9{B^2} = {C^2}$. Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm  ${F_1}$, ${F_2}$ của (E) đến đường thẳng $\Delta$

Gợi ý làm bài

$(E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$

Ta có:

${a^2} = 25,{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 16$

$\Rightarrow c = 4.$

Vậy (E) có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 4;0} \right)$ và ${F_2}\left( {4;0} \right)$. Ta có : 

${d_1} = d({F_1},\Delta ) = {{\left| { - 4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$

${d_2} = d({F_2},\Delta ) = {{\left| {4A + C} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$

Suy ra: 

${d_1}{d_2} = {{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}}.\,\,\,(1)$

Thay ${C^2} = 25{A^2} + 9{B^2}$ vào (1) ta được : 

$\eqalign{ & {d_1}{d_2} = {{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr & = {{9({A^2} + {B^2})} \over {{A^2} + {B^2}}} \cr}$

Vậy ${d_1}{d_2} = 9.$

Bài 3.45 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho elip (E): ${x^2} + 4{y^2} = 16$.

a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {1;{1 \over 2}} \right)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (1;2)$

c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng $\Delta$ và elip (E). Chứng minh MA = MB.

Gợi ý làm bài

a) $\eqalign{ & (E):{x^2} + 4{y^2} = 16 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1. \cr}$

Ta có:

$\eqalign{ & {a^2} = 16,{b^2} = 4 \cr & \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 12 \cr}$

$\Rightarrow c = 2\sqrt 3 .$

Vậy (E) có hai tiêu điểm: ${F_1}\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right)$ và ${F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)$

và các đỉnh ${A_1}\left( { - 4;0} \right)$, ${A_2}\left( {4;0} \right)$, ${B_1}\left( {0; - 2} \right)$, ${B_2}\left( {0;2} \right)$

b) Phương trình $\Delta$  có dạng : 

$1.(x - 1) + 2.(y - {1 \over 2}) = 0$

hay $x + 2y - 2 = 0$

c) Tọa độ của giao điểm của $\Delta$ và (E) là nghiệm của hệ : 

$\left\{ \matrix{ {x^2} + 4{y^2} = 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr x = 2 - 2y.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.$

Thay (2) vào (1) ta được : 

${\left( {2 - y} \right)^2} + 4{y^2} = 16$

$\Leftrightarrow {(1 - y)^2} + {y^2} = 4$

$\Leftrightarrow 2{y^2} - 2y - 3 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Phương trình (3) có hai nghiệm ${y_A}$, ${y_B}$ thỏa mãn

${{{y_A} + {y_B}} \over 2} = {2 \over 4} = {1 \over 2} = {y_M}.$

 Vậy MA = MB.

Ta có: ${y_A} = {{1 - \sqrt 7 } \over 2}$, ${y_B} = {{1 + \sqrt 7 } \over 2}$

${x_A} = 1 + \sqrt 7$, ${x_B} = 1 - \sqrt 7$

Vậy A có tọa độ là $\left( {1 + \sqrt 7 ;{{1 - \sqrt 7 } \over 2}} \right)$, B có tọa độ là $\left( {1 - \sqrt 7 ;{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right).$

Giaibaitap.me