Bài 30 trang 102 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho elip (E) có phương trình chính tắc \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) . Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Tiêu cự của (E) là 2c, trong đó \({c^2} = {a^2} - {b^2}.\)

b) (E) có độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng 2b,

c) (E) có tâm sai \(e =  - {c \over a}.\)

d) Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1} = ( - c;0),{F_2} = (c;0).\)

e) Điểm (b, 0) là một đỉnh của (E).

Giải

Các mệnh đề đúng là: a);  b);  d).

Các mệnh đề sai là: c);  e).

Bài 31 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau 

\(\eqalign{
& a){{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1; \cr
& b){{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1; \cr
& c){x^2} + 4{y^2} = 4. \cr} \)

Giải

a)  Ta có: \(a = 5;b = 2;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {21} \)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt {21} ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt {21} ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { - 5;0} \right);{A_2}\left( {5;0} \right);{B_1}\left( {0; - 2} \right);{B_2}\left( {0;2} \right)\)

Độ dài trục lớn \(2a = 10\) , độ dài trục bé \(2b = 4\)

b) Ta có: \(a = 3;b = 2;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 5 .\)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { - 3;0} \right);{A_2}\left( {3;0} \right);{B_1}\left( {0; - 2} \right);{B_2}\left( {0;2} \right).\)

Độ dài trục lớn \(2a = 6\) , độ dài trục bé \(2b = 4\)

c) Ta có: \({x^2} + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 4} + {y^2} = 1\)

\(a = 2;b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3 .\)

Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { - 2;0} \right);{A_2}\left( {2;0} \right);{B_1}\left( {0; - 1} \right);{B_2}\left( {0;1} \right).\)

Độ dài trục lớn \(2a = 4\) , độ dài trục bé \(2b = 2\)

Bài 32 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\)

b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4;

c) (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)

Giải

a) Ta có:

\(\eqalign{
& 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4 \cr
& e = {c \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \cr
& {b^2} = {a^2} - {c^2} = 16 - 12 = 4 \cr} \)

Vậy \((E):{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

b) Ta có: 

\(\eqalign{
& 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4 \cr
& 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2 \cr
& {a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20 \cr} \) 

Vậy \((E):{{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\)

c) Ta có: \(c = \sqrt 3  \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3\)

Giả sử: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

\(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\) nên \({1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{a^2} - {b^2} = 3 \hfill \cr
{1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
{1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{b^2} = - {9 \over 4}\,(loai) \hfill \cr
{b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy  \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

Giaibaitap.me