Bài 45 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình

a)

$\left\{ \matrix{ x - y = 2 \hfill \cr {x^2} + {y^2} = 164 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ {x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr 2x + y = 1 \hfill \cr} \right.$

Giải

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra $y = x – 2$

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$\eqalign{ & {x^2} + {(x - 2)^2} = 164 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 4 = 164 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 80 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 10 \hfill \cr x = - 8 \hfill \cr} \right. \cr}$ 

Với $x = 10 ⇒ y = 8$

Với $x = -8 ⇒ y = -10$

b) Thay $y = 1 – 2x$ vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

$\eqalign{ & {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr & \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr}$

Với $x = 1 ⇒ y = -1$

Với $x =  - {2 \over 3} \Rightarrow y = {9 \over 5}$

Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình

a)

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.$

c)

$\left\{ \matrix{ {x^2} - 3x = 2y \hfill \cr {y^2} - 3y = 2x \hfill \cr} \right.$

Giải

a) Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ S + P = 5 \hfill \cr {S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ P = 5 - S \hfill \cr {S^2} - 2(5 - S) + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ P = 5 - S \hfill \cr {S^2} - 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = 3 \hfill \cr P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ S = - 6 \hfill \cr P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr}$

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

${x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.$

Ta có nghiệm (1, 2); (2, 1)

ii) Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:

S² – 4P = 36 – 44 = -8 < 0

Vậy phương trình có hai nghiệm (1, 2); (2, 1)

b) Đặt x’ = -x, ta có hệ:

$\left\{ \matrix{ x{'^2} + {y^2} + x' + y = 2 \hfill \cr - x'y - x' - y = - 1 \hfill \cr} \right.$

Đặt S = x’ + y;  P = x’y, ta có:

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {S^2} - 2P + S = 2 \hfill \cr S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {S^2} + S - 2(1 - S) = 2 \hfill \cr P = 1 - S \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {S^2} + 3S - 4 = 0 \hfill \cr P = 1 - S \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = 1 \hfill \cr P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ S = - 4 \hfill \cr P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr}$ 

+) Nếu S =1, P = 0 thì x’, y là nghiệm phương trình:

${X^2} - X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 0 \hfill \cr X = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x' = 0 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x' = 1 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$ 

Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)

+) Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S² – 4P < 0

c) Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

x² – y² – 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

$\left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {x^2} - 3x = 2y \hfill \cr x - y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I) \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x^2} - 3x = 2y \hfill \cr x + y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II) \hfill \cr} \right.$

Ta có:

$(I)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 3x = 2y \hfill \cr x - y = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x(x - 5) = 0 \hfill \cr x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = y = 0 \hfill \cr x = y = 5 \hfill \cr} \right.$

$(II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 3x = 2(1 - x) \hfill \cr y = 1 - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - x - 2 = 0 \hfill \cr y = 1 - x \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : $(0, 0); (5, 5); (-1, 2); (2, -1)$

Bài 47 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm :

$\left\{ \matrix{ x + y = S \hfill \cr xy = P \hfill \cr} \right.$

 (S và P là hai số cho trước)

Giải

$x, y$ là nghiệm của phương trình: $X^2– SX + P = 0 \;\;(1)$

(1) có nghiệm $⇔ Δ  = S^2– 4P ≥ 0$

Giaibaitap.me