Bài 2.9 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Biết \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {{3\sin \alpha  - \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }}\)

Gợi ý làm bài

Do \(\tan \alpha  = \sqrt 2  > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha  < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha  > 0\)

\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

\(A = {{3\sin \alpha  - \cos \alpha } \over {\sin \alpha  + \cos \alpha }} = 7 - 4\sqrt 2 \)

Bài 2.10 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Biết \(\sin \alpha  = {2 \over 3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {{3\cot \alpha  - \tan \alpha } \over {\cot \alpha  + \tan \alpha }}\)

Gợi ý làm bài

\({\cot ^2}\alpha  = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} - 1 = {1 \over {\left( {{2 \over 3}} \right)_{}^2}} - 1 = {5 \over 4}\)

\(\eqalign{
& B = {{\cot \alpha - \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha - {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr
& = {{\cot _{}^2\alpha - 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} - 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \)

Bài 2.11 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Chứng minh rằng với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) ta có:

a) \({(\sin x + \cos x)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)

b) \({(\sin x - \cos x)^2} = 1 - 2\sin x\cos x\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Gợi ý làm bài

a)

\(\eqalign{
& {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \cr
& = 1 + 2\sin x\cos x \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& {(\sin x - \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x \cr
& = 1 - 2\sin x\cos x \cr} \)

\(\eqalign{
& c){\sin ^4}x + {\cos ^4}x \cr
& = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr} \)

Bài 2.12 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào \(\alpha \)

a) \(A = {(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha  - \cos \alpha )^2}\)

b) \(B = {\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  - 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

Gợi ý làm bài

a) \(A = {(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha  - \cos \alpha )^2}\)

\(= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  + 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)

= 2

b) \(B = {\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  - 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

\( = ({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha ) - 2{\sin ^2}\alpha  + 1\)

\( = 1[{\sin ^2}\alpha (1 - {\sin ^2}\alpha ){\rm{]}} - 2{\sin ^2}\alpha  + 1 = 0\)

Giaibaitap.me