Bài 27 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) trong mỗi trường hợp sau

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\)

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\)

c) Tiếp tuyến đi qua điểm (2, -2)

Giải

Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 4\) có tâm O ( 0;0 ) bán kính R = 2.

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\) có dạng \(\Delta :3x - y + c = 0.\)

Ta có: \(d\left( {O,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c =  \pm 2\sqrt {10} .\)

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:

\(3x - y - 2\sqrt {10}  = 0;\,\,\,3x - y + 2\sqrt {10}  = 0.\)

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\) có dạng:

\(d:\,2x - y + c = 0.\) 

Ta có: \(d\left( {O,d} \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c =  \pm 2\sqrt 5 .\)

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: 

\(2x - y - 2\sqrt 5  = 0\,;\,\,\,\,\,2x - y + 2\sqrt 5  = 0.\)

Bài 28 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao

Xét vị trí tương đối của đường thẳng \(\Delta \) và đường tròn (C) sau đây 

\(\eqalign{
& \Delta :3x + y + m = 0, \cr
& (C):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 1 = 0. \cr} \)

Giải

(C) có tâm \(I(2, -1)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 1}  = 2.\)

Khoảng cách từ I đến \(\Delta \)  là:

\(d\left( {I,\Delta } \right) = {{|3.2 - 1 + m|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }}\)

+) Nếu

\({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |m + 5| > 2\sqrt {10}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - 5 -2 \sqrt {10} \hfill \cr
m > - 5 + 2\sqrt {10} \hfill \cr} \right.\)

 thì \(\Delta \) và (C) cắt nhau.

+) Nếu \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |5 + m| = 2\sqrt {10}  \Leftrightarrow m =  - 5 \pm 2\sqrt {10} \) thì \(\Delta \) và (C) tiếp xúc.

+) Nếu  \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} < 2 \Leftrightarrow |5 + m| < 2\sqrt {10} \)

\(\Leftrightarrow  - 5 - 2\sqrt {10}  < m <  - 5 + 2\sqrt {10} \) thì \(\Delta \) và (C) không cắt nhau.

Bài 29 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn sau đây

\(\eqalign{
& (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0, \cr
& (C'):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0. \cr} \) 

Giải

\(\eqalign{
& (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 1 = 0\,\,\,\,(\,1\,) \cr
& (C'):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0\,\,\,(2) \cr} \) 

Lấy (1) trừ (2)  ta được \(4x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - {3 \over 2}.\)

Thay \(x =  - {3 \over 2}\) vào (1) ta được:

 \({9 \over 4} + {y^2} - 3 + 2y - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - {7 \over 4} = 0\)

\(\Leftrightarrow y =  - 1 \pm {{\sqrt {11} } \over 2}\)

Tọa độ hai giao điểm của (C) và (C’) là:

\(\left( { - {3 \over 2}; - 1 - {{\sqrt {11} } \over 2}} \right);\,\,\,\left( { - {3 \over 2}; - 1 + {{\sqrt {11} } \over 2}} \right)\)

Giaibaitap.me