Bài 24 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(M(1; - 2),N(1;2),P(5;2).\)

Giải

Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\)

Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với ba ẩn số a, b, c.

\(\left\{ \matrix{
5 + 2a - 4b + c = 0 \hfill \cr
5 + 2a + 4b + c = 0 \hfill \cr
29 + 10a + 4b + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 3 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = 1 \hfill \cr} \right.\) 

Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - 6x + 1 = 0\) hay \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 8\)

Bài 25 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao

a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm

b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1, 1); (1, 4) và tiếp xúc với trục Ox.

Giải

a) Vì M(2; 1) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên đường tròn cần tìm (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.

(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I (a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ).

Do đó (C) có phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {a^2}\)

Vì \(M(2;1)\in(C)\) nên 

\(\eqalign{
& {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - a} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0\,\,(C) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Với \(a =1\) ta có (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)

+) Với \(a=5\) ta có \((C):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25.\)

b) Phương trình đường thẳng Ox: \(y = 0\).

Giả sử: \(I (a; b)\) là tâm của đường tròn cần tìm.

Ta có: \(R = d\left( {I;{\rm{Ox}}} \right) = |b|\)

Phương trình đường tròn có dạng

\((C):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {b^2}\)

Vì \(\left( {1;1} \right) \in (C)\) và \(\left( {1;4} \right) \in (C)\)  nên ta có hệ: 

\(\left\{ \matrix{
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(\,1\,) \hfill \cr
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Từ hệ trên ta suy ra: \({\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {4 - b} \right)^2}\)\(\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\)

Thay \(b = {5 \over 2}\) vào (1) ta được: \(a = 3, a = -1\)

Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 3}} \right)^2} = {{25} \over 4};\)

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4}.\)

Bài 26 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 2 + t \hfill \cr} \right.\)

và đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\)

Giải

Thay \(x = 1 + 2t;\,y =  - 2 + t\) vào phương trình đường tròn ta được:

\(\eqalign{
& {\left( {2t} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow 5{t^2} - 8t = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = {8 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Với \(t = 0\) ta có \(x = 1, y = -2\) và  có giao điểm \(A(1, -2)\)

+) Với \(t = {8 \over 5}\) ta có \(x = {{21} \over 5};\,y =  - {2 \over 5}\) và có giao điểm \(B\left( {{{21} \over 5};{{ - 2} \over 5}} \right).\)

Giaibaitap.me