Bài 14 trang 199 SGK Đại số 10 Nâng cao

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu α âm thì ít nhất một trong các số cosα, sinα phải âm.

b) Nếu α dương thì \(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \)

c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sau trùng nhau:

\({\pi  \over 4};\,\, - {{7\pi } \over 4};\,\,{{13\pi } \over 4};\,\, - {{17\pi } \over 4}\)

d) Ba số sau bằng nhau: \({\cos ^2}{45^0};\,\,\sin({\pi  \over 3}\cos {\pi  \over 3})  ;\,\,\, - \sin {210^0}\)

e) Hai số sau khác nhau: \(\sin {{11\pi } \over 6};\,\,\sin ({{5\pi } \over 6} + 1505\pi )\)

f) Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bởi các số đo: \(0;\,{\pi  \over 3};\,\pi ;\, - {{2\pi } \over 3};\, - {\pi  \over 3}\) là các đỉnh liên tiếp của một lục giác đều.

Đáp án

a) Sai

Chẳng hạn \(\alpha  =  - {{7\pi } \over 4}\) thì cosα và sin α đều dương.

b) Sai

 Chẳng hạn: \(\alpha  = {{5\pi } \over 4}\) thì sinα < 0

c) Sai

Trên đường tròn lượng giác các điểm biểu diễn các số:

\({\pi  \over 4};\,\, - {{7\pi } \over 4} =  - 2\pi  + {\pi  \over 4};\,\, - {{17\pi } \over 4} =  - 9.2\pi  + {\pi  \over 4}\)

Là trùng nhau nhưng không trùng với điểm biểu diễn số \({{13\pi } \over 4} = 3\pi  + {\pi  \over 4}\)          

d) Đúng

Vì:

\(\eqalign{
& \cos^2 {45^0} = {1 \over 2} \cr
& \sin ({\pi \over 3}\cos {\pi \over 3}) = \sin ({\pi \over 3}.{1 \over 2}) = \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2} \cr
& - \sin {210^0} = - \sin ({180^0} + {30^0}) = - ( - {1 \over 2}) = {1 \over 2} \cr} \)

e) Sai

Vì:

\(\eqalign{
& \sin {{11\pi } \over 6} = \sin (2\pi - {\pi \over 6}) = \sin ( - {\pi \over 6}) \cr
& \,\sin ({{5\pi } \over 6} + 1505\pi ) = sin(1506\pi - {\pi \over 6}) = \sin ( - {\pi \over 6}) \cr} \) 

g) Đúng

Vì chỉ cần dựng lục giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác với một đỉnh A và quan sát.

Bài 15 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \)

b) \(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \sin \alpha \)

c) \(\tan \alpha  = {{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } } \over {\cos \alpha }}\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \Leftrightarrow \cos \alpha = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha } \cr
& \Leftrightarrow \cos \alpha \ge 0 \cr} \)        

⇔  M(x, y) thỏa mãn x² + y² = 1; x ≥ 0

b) Ta có:

\(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha }  = \sin \alpha  \Leftrightarrow \sin \alpha  \ge 0\)

⇔  M(x, y) thỏa mãn x² + y² = 1; y ≥ 0

c) Ta có:

\(\tan \alpha = {{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } } \over {\cos \alpha }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\sin \alpha \ge 0 \hfill \cr
\cos \alpha \ne 0 \hfill \cr} \right.\)

⇔  M(x, y) thỏa mãn x² + y² = 1, y ≥ 0; y ≠ 1

Bài 16 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xác định dấu của các số sau:

a) \(\sin {156^0};\,\cos ( - {80^0});\,\,\tan ( - {{17\pi } \over 8});\,\tan {556^0}\)

b) \(\sin (\alpha  + {\pi  \over 4});\,\,\cos (\alpha  - {{3\pi } \over 8});\,\,\tan (\alpha  - {\pi  \over 2})\)

\((0 < \alpha  < {\pi  \over 2})\)

Đáp án

a) Vì 0⁰ < 150⁰ < 180⁰ nên sin 150⁰ >0

Vì -90⁰ < -80⁰ < 90⁰ nên cos(-80⁰) > 0

Ta có:

\(\tan ( - {{17\pi } \over 8}) = tan( - 2\pi  - {\pi  \over 8}) = \tan ( - {\pi  \over 8}) < 0\)

\((do\, - {\pi  \over 2} <  - {\pi  \over 8} < 0)\) 

Tan 556⁰ = tan(360⁰ + 196⁰) = tan196⁰ > 0 (do 180⁰ < 156⁰ < 270⁰)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& 0 < \alpha < {\pi \over 2} \Rightarrow {\pi \over 4} < \alpha + {\pi \over 4} < {{3\pi } \over 4}\cr& \Rightarrow \sin (\alpha + {\pi \over 4}) > 0 \cr
& 0 < \alpha < {\pi \over 2} \Rightarrow - {{3\pi } \over 8} < \alpha - {{3\pi } \over 8} < {\pi \over 8} \cr&\Rightarrow \cos (\alpha - {{3\pi } \over 8}) > 0 \cr
& 0 < \alpha < {\pi \over 2} \Rightarrow - {\pi \over 2} < \infty - {\pi \over 2} < 0 \cr&\Rightarrow \tan (\alpha - {\pi \over 2}) < 0 \cr} \)

Bài 17 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tính giá trị lượng giác của các góc sau:

a) \( - {\pi  \over 3} + (2k + 1)\pi \)

b) kπ 

c) \({\pi  \over 2} + k\pi \)

d) \({\pi  \over 4} + k\pi \,(k \in Z)\)

Đáp án

a) Ta có: \( - {\pi  \over 3} + (2k + 1)\pi  = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \sin {{2\pi } \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \cos ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \cos {{2\pi } \over 3} = - {1 \over 2} \cr
& \tan ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \tan {{2\pi } \over 3} = - \sqrt 3 \cr
& \cot ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \cot {{2\pi } \over 3} = - {{\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) 

b) Ta có

cos kπ = 1 nếu k chẵn

cos kπ = -1 nếu k lẻ 

⇒cos kπ = (-1)^k

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos ({\pi \over 2} + k\pi ) = 0 \cr
& sin({\pi \over 2} + k\pi ) = {( - 1)^k} \cr
& cot({\pi \over 2} + k\pi ) = 0 \cr} \)

\(\tan ({\pi  \over 2} + k\pi )\) không xác định

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos ({\pi \over 4} + k\pi ) = {( - 1)^k}{{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \sin ({\pi \over 4} + k\pi ) = {( - 1)^k}{{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \tan ({\pi \over 4} + k\pi ) = \cot ({\pi \over 4} + k\pi ) = 1 \cr} \)

Giaibaitap.me