Bài 1.32 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {IJ} \)

Gợi ý làm bài

(h.1.52)

\(\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BJ}\)

\(\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DJ} \)

Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} ) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + (\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} ) \cr
& = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \cr} \)

Bài 1.33 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(h.1.53) 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.

Khi đó $\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GQ}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {PQ} \)

\( = (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP} ) + \overrightarrow {AC}  + (\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {PQ} )\)

\(\overrightarrow { = AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \)

(Vì \(\overrightarrow {NM}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CA}\) nên \(\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {CA} \))

Vậy \(\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GQ}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.

Bài 1.34 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC.

a)Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {CB} \)

b)Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.54)

a) \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {CB} \)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {KB}  - \overrightarrow {KC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

K là trọng tâm của tam giác ABC.

b) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow M C = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của AB)

Hay \(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \) M là trung điểm của IC.

Bài 1.35 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \).

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh \(\overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.55)

a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên \(BD \bot AB,DC \bot AC\)

Ta có \(CH \bot AB,BH \bot AC\) nên suy ra CH // BD và BH // DC.

Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Vì O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} (1)\)

Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HD} \). 

Vậy từ (1) suy ra:

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} (2)\)

Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra 

\(\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {HO} \)

Vậy \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} (3)\)

c) G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ (3) suy ra \(\overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.

Giaibaitap.me