Bài 1 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ . Hãy xác định các vec tơ

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \,\,;\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} \,\,;\,\,\,\,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} \,\,;\,\,\,\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} \,\,;\, \cr & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} \,\,;\,\,\,\,\,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} \,\,;\,\,\,\,\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} \,\,.\, \cr}$                

Hướng dẫn trả lời

Ta có  

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \,\, = \overrightarrow {AC} \,\,\,\,\, \cr & \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} \,\, = \overrightarrow {CA} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr & \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} \,\, = \,\overrightarrow {CA} \, + \,\overrightarrow {AB} \, = \,\overrightarrow {CB} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr & \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} \,\, = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \cr}$         

$\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BD}$ (Với $D$ thỏa mãn $\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AD}$, tức $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua $A$).

$\eqalign{ & \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \cr & \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \cr}$

$\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BE}$ (Với $E$ là điểm sao cho $BCEA$ là hình bình hành).

Bài 2 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài 2. Cho ba điểm $O, A, B$ không thẳng hàng. Tìm điều kiện cần và đủ để vec tơ $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$ có giá là đường phân giác của góc AOB.

Hướng dẫn trả lời

Gọi $C$ là điểm sao cho $AOBC$ là hình bình hành.

Ta có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}$,

$OC$ là phân giác của góc $AOB$ khi và chỉ khi $AOB$C là hình thoi.

$\Leftrightarrow \,\,OA = OB$.

Bài 3 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài 3. Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với điểm $M$ bất kì, ta có

 $\overrightarrow {MO}  = {1 \over 4}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} ).$

Hướng dẫn trả lời

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC, BD$.

Suy ra $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \,,\,\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \,.$ 

Ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MO} = {1 \over 4}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} ). \cr}$

Bài 4 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài 4. Cho tam giác $ABC$.

a) Tìm các điểm $M$ và $N$ sao cho

$\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$ và $2\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 .$

b) Với các điểm $M, N$ ở câu a) , tìm các số $p$ và $q$ sao cho

$\overrightarrow {MN}  = p\overrightarrow {AB}  + q\overrightarrow {AC} .$ 

Hướng dẫn trả lời

a)  Ta có $\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \,\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BA} \,.$ Do đó $ABCM$ là hình bình hành.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, ta có $\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {NI}$ suy ra $2\overrightarrow {NA}  + 2\overrightarrow {NI}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \,\,\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NI}  = \overrightarrow 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,N\,$ là trung điểm của $AI$.

b) Từ câu a), ta biểu diễn $\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {AN}$ qua $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC}$.

$\eqalign{ & \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - \overrightarrow {AM} - (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} ) + (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} )=\overrightarrow 0 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \cr & 2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,4\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\Leftrightarrow  \overrightarrow {AN}= {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = {5 \over 4}\overrightarrow {AB} - {3 \over 4}\overrightarrow {AC} \cr}$

Vậy $p = {5 \over 4}\,;\,q =  - {3 \over 4}.$

Giaibaitap.me