Câu IV.4 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) có hai nghiệm. Xác định p biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 254.

Giải

Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm thì \(\Delta  \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {p^2} - 4 \cr
& \Rightarrow {p^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{p \ge 2} \cr
{p \le - 2} \cr} } \right. \cr} \)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} =  - p;{x_1}{x_2} = 1\)

Theo bài ra ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} - 2.1 = 254 \cr
& \Leftrightarrow {p^2} = 256 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{p = 16} \cr
{p = - 16} \cr} } \right. \cr} \)

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy với p = 16 hoặc p = -16 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\)

Câu IV.5 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình: \({x^4} - 13{x^2} + m = 0\). Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) Có 4 nghiệm phân biệt

b) Có 3 nghiệm phân biệt

c) Có 2 nghiệm phân biệt

d) Có một nghiệm

e) Vô nghiệm.

Giải

Cho phương trình: \({x^4} - 13{x^2} + m = 0\)               (1)

Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 13t + m = 0\)           (2)

\(\Delta  = 169 - 4m\)

a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm số dương khi

\(\left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1}{t_2} = m > 0} \cr
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m < {{169} \over 4}} \cr 
{m > 0} \cr} \Leftrightarrow 0 < m < {{169} \over 4}} \right.} \right.\)

b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng 0 khi:

\(\left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m < {{169} \over 4}} \cr 
{m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.\)

c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.

Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi \(\Delta  = 169 - 4m = 0\)

\( \Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}\)

Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi

\(\left\{ {\matrix{
{\Delta = 169 - 4m > 0} \cr
{{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m < {{169} \over 4}} \cr 
{m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.\)

Vậy với \(m = {{169} \over 4}\) hoặc m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.

Ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép \({t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0\)

Nếu phương trình (2) có một nghiệm t₁ = 0. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({t_1} + {t_2} = 13 \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0\)

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.

e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({t_1} + {t_2} = 13 > 0\) vô lý

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.

Suy ra: \(\Delta  = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}\)

Giaibaitap.me