Câu 45* trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

a)      Điểm E nằm trên đường tròn(O);

b)      DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

a) Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:

\( EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm E nằm trên đường tròn \(\left( {O;{{AH} \over 2}} \right)\)

b) Ta có: OH = OE

suy ra tam giác OHE cân tại O

suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\)                      (1)

Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh)            (2)

Trong tam giác BDH ta có:

\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \)            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \)                          (4)

Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

\(ED = BD = {{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\)                               (5)

Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)

Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O).

Câu 46 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.

Giải:

*        Phân tích

Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

−           Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.

−           Tâm I nằm trên tia Oy  nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.

*        Cách dựng

−           Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.

−           Dựng đường tròn (I; IA).

*        Chứng minh

Ta có: I thuộc Oy, OA ⊥ IA tại A.

Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn ( I;IA)

 hay (I; IA) tiếp xúc với Ox.

*        Biện luận

Vì \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.

Câu 47 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.

Giải:

*        Phân tích

Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa

mãn điều kiện bài toán.

−        d₁ là tiếp tuyến của đường tròn tại  A nên d₁ ⊥ OA

−        Vì d₁ // d nên d ⊥ OA.

Vậy A là giao điểm của đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d.

*        Cách dựng

−        Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B.

−        Dựng đường thẳng d₁ đi qua A và vuông góc với OA.

−        Dựng đường thẳng d₂ đi qua B và vuông góc với OB.

Khi đó d₁ và d₂ là hai tiếp tuyến cần dựng.

*        Chứng minh

Ta có: A và B thuộc (O)

d₁ // d mà d ⊥ OH nên d₁ ⊥ OH hay d₁ ⊥ OA tại A

Suy ra d₁ là tiếp tuyến của đường tròn (O)

           d₂ // d mà d ⊥ OH nên d₂ ⊥ OH hay d₂ ⊥ OB tại B

Suy ra d₂ là tiếp tuyến của đường tròn (O)

*        Biện luận

Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được.

Giaibaitap.me