Câu 33 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:

a) \(\sqrt {{x^2} - 4}  + 2\sqrt {x - 2} \);

b) \(3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} - 9} \).

Gợi ý làm bài

a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4}  + 2\sqrt {x - 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:

\({x^2} - 4 \ge 0\) và \(x - 2 \ge 0\)

Ta có: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr 
x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 2 \hfill \cr 
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)

Trường hợp 2: 

\(\left\{ \matrix{
x + 2 \le 0 \hfill \cr 
x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr 
x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2\)

\(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)

Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr 
& = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}\)

\(= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)\)

b) Ta có: \(3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} - 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} - 9 \ge 0\)

Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

\({x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{
x + 3 \ge 0 \hfill \cr 
x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 3 \hfill \cr 
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

Trường hợp 2: 

\(\left\{ \matrix{
x + 3 \le 0 \hfill \cr 
x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 3 \hfill \cr 
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\)

Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích: 

\(\eqalign{
& 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr 
& = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr} \)

\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)\)

Câu 34 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) \(\sqrt {x - 5}  = 3\);

b) \(\sqrt {x - 10}  =  - 2\);

c) \(\sqrt {2x - 1}  = \sqrt 5 \);

d) \(\sqrt {4 - 5x}  = 12\).

Gợi ý làm bài

a) \(\sqrt {x - 5}  = 3\) điều kiện: \(x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\)

Ta có: \(\sqrt {x - 5}  = 3 \Leftrightarrow x - 5 = 9 \Leftrightarrow x = 14\)

b) \(\sqrt {x - 10}  =  - 2\) điều kiện: \(x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10\)

Vì \(\sqrt {x - 10}  \ge 0\) nên không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x - 10}  =  - 2\)

\(\sqrt {2x - 1}  = \sqrt 5 \) điều kiện: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0,5\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& \sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \Leftrightarrow 2x - 1 = 5 \cr 
& \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3 \cr} \)

d) \(\sqrt {4 - 5x}  = 12\) điều kiện: \(4 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {4 \over 5}\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& \sqrt {4 - 5x} = 12 \Leftrightarrow 4 - 5x = 144 \cr 
& \Leftrightarrow - 5x = 140 \Leftrightarrow x = - 28 \cr} \)

Câu 35 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với n là số tự nhiên, chứng minh:

\({(\sqrt {n + 1}  - \sqrt n )^2} = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}}  - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \)

Viết đẳng thức trên khi n bằng 1, 2, 3, 4.

Gợi ý làm bài

Ta có: 

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr 
& = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr 
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)

\(\eqalign{
& = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr 
& = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr 
& = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr 
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

- Với n = 1, ta có:  \({\left( {\sqrt 2  - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9  - \sqrt 8 \)

- Với n = 2, ta có: \({\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25}  - \sqrt {24} \)

- Với n = 3, ta có: \({\left( {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49}  - \sqrt {48} \)

- Với n = 4, ta có: \({\left( {\sqrt 5  - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81}  - \sqrt {80} \)

Câu 3.1 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Giá trị của \(\sqrt {1,6} .\sqrt {2,5} \) bằng:

(A) 0,20 ;

(B) 2,0 ;

(C) 20,0 ;

(D) 0,02;

Hãy chọn đáp án đúng.

Gợi ý làm bài

Chọn (B)

Giaibaitap.me