Câu 31 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:

a)      OC là tia phân giác của góc AOB.

b)      OC vuông góc với AB.

Giải:

a) Kẻ OH ⊥ AM, OK ⊥ BN

Ta có: AM = BN (gt)

Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:

$\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ$

         OC chung

         OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆OCH = ∆OCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$

Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có:

$\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ$

          OA = OB

          OH = OK ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAH = ∆OBK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}$

Suy ra:  $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}$ hay $\widehat {AOC} = \widehat {BOC}$

Vậy OC là tia phân giác của $\widehat {AOB}$

b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: OC ⊥ AB.

Câu 32* trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O là 3dm.

a)      Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm M.

b)      Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.

Giải:

a) Dây đi qua M ngắn dây là dây AB vuông góc với OM.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAM ta có:

$O{A^2} = A{M^2} + O{M^2}$

Suy ra:   $A{M^2} = O{A^2} - O{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16$

               AM = 4 (dm)

Ta có:     OM ⊥ AB

Suy ra:   AM = ${1 \over 2}AB$

Hay:        AB = 2AM = 2.4 = 8 (dm)

b) Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn (O). Vậy dây có độ dài bằng 2R = 2.5 = 10 (dm)

Câu 33* trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB  >CD,  chứng minh rằng MH > MK.

Giải:

Ta có:  HA = HB (gt)

Suy ra:  OH ⊥ AB (đường kính dây cung)

Lại có:   KC = KD (gt)

Suy ra:   OK ⊥ CD ( đường kính dây cung)

Mà  AB > CD (gt)

Nên  OK > OH ( dây lớn hơn gần tâm hơn)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHM ta có:

$O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}$

Suy ra:     $H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}$      (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OKM, ta có:

$O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}$

Suy ra:    $K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}$                  (2)

Mà  OH < OK (cmt)            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $H{M^2} > K{M^2}$ hay HM > KM.

Giaibaitap.me