Câu 15 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) \(9 + 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^2}\);

b) \(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt 5  =  - 2\);

c) \({\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = 23 - 8\sqrt 7 \);

d) \(\sqrt {23 + 8\sqrt 7 }  - \sqrt 7  = 4.\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

VT = \(\eqalign{
& 9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr 
& = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

VT = \(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt 5  = \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5  + 4}  - \sqrt 5 \)

\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} - \sqrt 5 \cr 
& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} - \sqrt 5 \cr} \)

\(\left| {\sqrt 5  - 2} \right| - \sqrt 5  = \sqrt 5  - 2 - \sqrt 5  =  - 2\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

c) Ta có:

VT = \(\eqalign{
& {\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = {4^2} - 2.4.\sqrt 7 + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr 
& = 16 - 8\sqrt 7 + 7 = 23 - 8\sqrt 7 \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

d) Ta có:

VT = \(\eqalign{
& \sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 \cr 
& = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 \cr} \)

= \(\eqalign{
& \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr 
& = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr} \)

= \(\left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7  = 4 + \sqrt 7  - \sqrt 7  = 4\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 16 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x ?

a) \(\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \);

b) \(\sqrt {{x^2} - 4} \);

c) \(\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \);

d) \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \).

Gợi ý làm bài

a) Ta có: \(\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \) xác định khi và chỉ khi :

\((x - 1)(x - 3) \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr 
x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr 
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{
x - 1 \le 0 \hfill \cr 
x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr 
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 1\)

Vậy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 3 thì \(\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \) xác định.

b) Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4} \) xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 4 \cr 
& \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr 
x \le - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy với x ≤ -2 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{x^2} - 4} \) xác định.

c) Ta có: \(\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \) xác định khi và chỉ khi:

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{
x - 2 \ge 0 \hfill \cr 
x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr 
x > - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{
x - 2 \le 0 \hfill \cr 
x + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr 
x < - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 3\)

Vậy với x < -3 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \) xác định.

d) Ta có: \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2 + x} \over {5 - x}} \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2 + x \ge 0 \hfill \cr 
5 - x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 2 \hfill \cr 
x < 5 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow - 2 \le x < 5 \cr} \)

Trường hợp 2: 

\(\left\{ \matrix{
2 + x \le 0 \hfill \cr 
5 - x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr 
x > 5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) vô nghiệm.

Vậy với -2 ≤ x < 5 thì \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \) xác định

Câu 17 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) \(\sqrt {9{x^2}}  = 2x + 1\);

b) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9}  = 3x - 1\);

c) \(\sqrt {1 - 4x + 4{x^2}}  = 5\);

d) \(\sqrt {{x^4}}  = 7\).

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {9{x^2}} = 2x + 1 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} = 2x + 1 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 2x + 1 \cr} \) (1)

Trường hợp 1: 

\(3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = 3x\)

Suy ra: 

\(3x = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x - 2x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

Trường hợp 2:

\(3x < 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| =  - 3x\)

Suy ra : 

\(\eqalign{
& - 3x = 2x + 1 \Leftrightarrow - 3x - 2x = 1 \cr 
& \Leftrightarrow - 5x = 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 5} \cr} \)

Giá trị \(x =  - {1 \over 5}\) thỏa mãn điều kiện x < 0.

Vậy \(x =  - {1 \over 5}\) là nghiệm của phương trình (1).

Vậy x = 1 và \(x =  - {1 \over 5}\)

b) Ta có : 

\(\sqrt {{x^2} + 6x + 9}  = 3x - 1\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 3x - 1 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 3x - 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)

Trường hợp 1: 

\(\eqalign{
& x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 3 \cr 
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = x + 3 \cr} \)

Suy ra : 

\(\eqalign{
& x + 3 = 3x - 1 \cr 
& \Leftrightarrow x - 3x = - 1 - 3 \cr 
& \Leftrightarrow - 2x = - 4 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3.

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2).

Trường hợp 2: 

\(\eqalign{
& x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < - 3 \cr 
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = - x - 3 \cr} \)

Suy ra: 

\(\eqalign{
& - x - 3 = 3x - 1 \cr 
& \Leftrightarrow - x - 3x = - 1 + 3 \cr 
& \Leftrightarrow - 4x = 2 \Leftrightarrow x = - 0,5 \cr} \)

Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3 :  loại.

Vậy x = 2.

Ta có: 

\(\eqalign{
& \sqrt {1 - 4x - 4{x^2}} = 5 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} = 5 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 5 \cr} \)   (3)

Trường hợp 1:

\(\eqalign{
& 1 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 1 \Leftrightarrow x \le {1 \over 2} \cr 
& \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 1 - 2x \cr} \)

 Suy ra:

\(\eqalign{
& 1 - 2x = 5 \Leftrightarrow - 2x = 5 - 1 \cr 
& \Leftrightarrow x = - 2 \cr} \)

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện \(x \le {1 \over 2}\)

Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình (3).

Trường hợp 2: 

\(\eqalign{
& 1 - 2x < 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > {1 \over 2} \cr 
& \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 2x - 1 \cr} \)

Suy ra: 

\(2x - 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 5 + 1 \Leftrightarrow x = 3\)

Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\)

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (3).

Vậy x = -2 và x = 3.

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^4}} = 7 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} = 7 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \cr} \)

Vậy \(x = \sqrt 7 \) và \(x =  - \sqrt 7 \)

Giaibaitap.me