Bài 2.7 trang 36 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Khai triển:

a) \({\left( {{x^2} + 2y} \right)^3}\);

b) \({\left( {\dfrac{1}{2}x - 1} \right)^3}\).

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển

a) \({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

b) \({\left( {a-b} \right)^3} = {a}^3 - 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} - {{b}^3}\)

Lời giải:

a)

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + 2y} \right)^3} = {\left( {{x^2}} \right)^3} + 3.{\left( {{x^2}} \right)^2}.2y + 3.{x^2}.{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3}\\ = {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3}\end{array}\)

b)

\({\left( {\dfrac{1}{2}x - 1} \right)^3} = {\left( {\dfrac{1}{2}x} \right)^3} - 3.{\left( {\dfrac{1}{2}x} \right)^2}.1 + 3.\dfrac{1}{2}x{.1^2} - {1^3} = \dfrac{1}{8}{x^3} - \dfrac{3}{4}{x^2} + \dfrac{3}{2}x - 1\)

Bài 2.8 trang 36 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) \(27 + 54x + 36{x^2} + 8{x^3}\).

b) \(64{x^3} - 144{x^2}y + 108x{y^2} - 27{y^3}\).

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm ra dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu của các biểu thức đó.

a. \( {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3} = {\left( {a+b} \right)^3} \)

 b. \({ {a}^3 - 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} - {{b}^3} = \left( {a-b} \right)^3} \)

Lời giải:

a) 27 + 54x + 36x² + 8x³

= 3³ + 3 . 3² . 2x + 3 . 3 . (2x)² + (2x)³

= (3 + 2x)³;

b) 64x³ – 144x²y + 108xy² – 27y³

= (4x)³ – 3 . (4x)² . 3y + 3 . 4x . (3y)² – (3y)³

= (4x – 3y)³.

Bài 2.9 trang 36 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a) \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại x=7.

b) \(27 - 54x + 36{x^2} - 8{x^3}\) tại x=6,5.

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

a. \({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

 b. \({\left( {a-b} \right)^3} = {a}^3 - 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} - {{b}^3}\)

Sau đó, thay giá trị x vào để tìm giá trị của biểu thức.

Lời giải: 

a) Ta có: x³ + 9x² + 27x + 27

= x³ + 3 . x² . 3 + 3 . x . 3² + 3³ = (x + 3)³.

Thay x = 7 vào biểu thức (x + 3)³, ta được:

(7 + 3)³ = 10³ = 1 000.

b) Ta có 27 – 54x + 36x² – 8x³

= 3³ – 3 . 3² . 2x + 3 . 3 . (2x)² – (2x)³

= (3 – 2x)³.

Thay x = 6,5 vào biểu thức (3 – 2x)³, ta được:

(3 – 2 . 6,5)³ = (3 – 13)³ = (–10)³ = –1 000.

Bài 2.10 trang 36 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \({\left( {x - 2y} \right)^3} + {\left( {x + 2y} \right)^3}\)

b) \({\left( {3x + 2y} \right)^3} + {\left( {3x - 2y} \right)^3}\)

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển

\({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

\({\left( {a-b} \right)^3} = {a}^3 - 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} - {{b}^3}\)

Lời giải: 

a)       

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 2y} \right)^3} + {\left( {x + 2y} \right)^3}\\ = {x^3} - 3.{x^2}.2y + 3.x.{\left( {2y} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^3} + {x^3} + 3.{x^2}.2y + 3.x.{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3}\\ = 2{x^3} + 24x{y^2}\end{array}\)

b)       

\(\begin{array}{l}{\left( {3x + 2y} \right)^3} + {\left( {3x - 2y} \right)^3}\\ = {\left( {3x} \right)^3} + 3.{\left( {3x} \right)^2}.2y + 3.3x{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3} + {\left( {3x} \right)^3} - 3.{\left( {3x} \right)^2}.2y + 3.3x{\left( {2y} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^3}\\ = 54{x^3} + 72x{y^2}\end{array}\)

Bài 2.11 trang 36 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Chứng minh \({\left( {a - b} \right)^3} =  - {\left( {b - a} \right)^3}\)

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển hai vế của đẳng thức trên.

Lời giải: 

\(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\\ - {\left( {b - a} \right)^3} =  - \left( {{b^3} - 3{b^2}a + 3b{a^2} - {a^3}} \right) = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\end{array}\)

Vậy \({\left( {a - b} \right)^3} =  - {\left( {b - a} \right)^3}\) (đpcm).

Giaibaitap.me