Bài 2.16 trang 41 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Tính nhanh giá trị của biểu thức:

\({x^2} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{{16}}\) tại x=99,75.

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn

\({(a+b)^2} = a^2 + 2ab +b^2\)

Sau đó, ta thay x vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

Lời giải:

\({x^2} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{{16}} = {x^2} + 2.x.\dfrac{1}{4} + {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right)^2}\)

Thay x=99,75 vào biểu thức ta được: \({\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right)^2} = {\left( {99,75 + 0,25} \right)^2} = {100^2} = 10000\).

Bài 2.17 trang 41 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Chứng minh đẳng thức \({\left( {10a + 5} \right)^2} = 100a\left( {a + 1} \right) + 25\). Từ đó em hãy nêu một quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là 5.

Áp dụng: Tính \({25^2};{35^2}\).

Phương pháp:

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích VT

\({(a+b)^2} = a^2 + 2ab +b^2\)

- Sau đó, ta chứng minh VT = VP

- Sau đó giải để tính được \({25^2};{35^2}\)

Lời giải:

Ta có (10a + 5)² = (10a)² + 2 . 10a . 5 + 5²

= 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.

Từ đó ta rút ra quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là 5 là:

Bình phương của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 bằng 100 lần tích của số tạo bởi các chữ số trước số tận cùng với số liền sau của số tạo bởi các chữ số trước số tận cùng rồi cộng với 25.

Áp dụng:

• 25² = (10 . 2 + 5)² = 100 . 2 . (2 + 1) + 25 = 100 . 2 . 3 + 25

= 600 + 25 = 625;

• 35² = (10 . 3 + 5)² = 100 . 3 . (3 + 1) + 25 = 100 . 3 . 4 + 25

= 1 200 + 25 = 1 225.

Bài 2.18 trang 41 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Tính nhanh giá trị của các biểu thức:

a) \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) tại x=99.

b) \({x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}\) tại x=88 và y=-12.

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn

a. \({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

 b. \({\left( {a-b} \right)^3} = {a}^3 - 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} - {{b}^3}\)

Sau đó thay x vào biểu thức để tính giá trị biểu thức

Lời giải:

a) \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^3}\)

Thay x=99 vào biểu thức ta được \({\left( {99 + 1} \right)^3} = {100^3} = 1000000\).

b) \({x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3}\)

Thay x=88 và y=-12 vào biểu thức ta được \({\left[ {88 - \left( { - 12} \right)} \right]^3} = {100^3} = 1000000\).

Bài 2.19 trang 41 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Rút gọn biểu thức sau:

a) \({\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {x + 2} \right)^3} - 6x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\)

b) \({\left( {2x - y} \right)^3} + {\left( {2x + y} \right)^3}\).

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển

\({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

 \({\left( {a-b} \right)^3} = {a}^3 - 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} - {{b}^3}\)

Lời giải: 

a) (x – 2)³ + (x + 2)³ – 6x(x + 2)(x – 2)

= [(x – 2) + (x + 2)] . [(x – 2)² – (x – 2).(x + 2) + (x + 2)²] – 6x(x² – 4)

= (x – 2 + x + 2).[x² – 4x + 4 – (x² – 4) + x² + 4x + 4] – 6x(x² – 4)

= 2x.(2x² + 8 – x² + 4) – 6x(x² – 4)

= 2x(x² + 12) – 6x(x² – 4)

= 2x³ + 24x – 6x³ + 24x

= – 4x³ + 48x.

b) (2x – y)³ + (2x + y)³

= (2x)³ – 3 . (2x)² . y + 3 . 2x . y² – y³ + (2x)³ + 3 . (2x)² . y + 3 . 2x . y² + y³

= (2x)³ + 3 . 2x . y² + (2x)³ + 3 . 2x . y²

= 8x³ + 6xy² + 8x³ + 6xy² = 16x³ + 12xy².

Bài 2.20 trang 41 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\).

Áp dụng, tính \({a^3} + {b^3}\) biết \(a + b = 4\) và \(ab = 3\).

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển VP

\({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

 Sau đó chứng minh VP = VT.

Từ đó, thay dữ kiện đề bài để tính giá trị biểu thức \({a^3} + {b^3}\)

Lời giải: 

\(\begin{array}{l}VP = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right) - \left( {3ab.a + 3ab.b} \right)\\ = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2}\\ = {a^3} + {b^3} = VT\end{array}\)

Vậy \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = {4^3} - 3.3.4 = 28\).

Bài 2.21 trang 41 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Bác Tùng gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất không đổi x mỗi năm (tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp). Biểu thức \(S = 200{\left( {1 + x} \right)^3}\) (triệu đồng) là số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm.

a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất là x=5,5%.

b) Khai triển S thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.

Phương pháp:

a) Thay x=5,5% vào biểu thức S để tính số tiền.

b) Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển

\({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)

Lời giải: 

a) Thay x = 5,5% vào biểu thức S, ta được:

200(1 + x)³ = 200 . (1 + 5,5%)³ = 200 . 1,055³ ≈ 234,848.

Vậy số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất x = 5,5% khoảng 234,848 triệu đồng.

b) Khai triển S thành đa thức theo x, ta được:

S = 200(1 + x)³ = 200(1³ + 3 . 1² . x + 3 . 1 . x² + x³)

= 200(1 + 3x + 3x² + x³) = 200 + 600x + 600x² + 200x³.

Bậc của đa thức S là bậc 3.

Giaibaitap.me