Bài 2.1 trang 33 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) \(x + 2 = 3x + 1\)

b) \(2x\left( {x + 1} \right) = 2{x^2} + 2x\)

c) \(\left( {a + b} \right)a = {a^2} + ba\)

d) \(a - 2 = 2a + 1\)

Phương pháp:

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Lời giải:

a) Đẳng thức x + 2 = 3x + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 2, vế phải bằng 1, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau;

b) Đẳng thức 2x(x + 1) = 2x² + 2x là hằng đẳng thức;

c) Đẳng thức (a + b)a = a² + ba là hằng đẳng thức;

d) Đẳng thức a – 2 = 2a + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 2 thì kết quả ở vế trái bằng 0, vế phải bằng 5, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau.

Bài 2.2 trang 33 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Thay  bằng biểu thức thích hợp.

a) \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) = {x^2} - ?\);

b) \(\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) = 4? - {y^2}\);

c) \({x^2} + 8xy + ? = {\left( {? + 4y} \right)^2}\);

d) \(? - 12xy + 9{y^2} = {\left( {2x - ?} \right)^2}\).

Phương pháp:

Sử dụng ba hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l} + ){A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\\ + ){\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\\ + ){\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\end{array}\)

Lời giải:

a) \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) = {x^2} - 9{y^2}\);

b) \(\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) = 4{x^2} - {y^2}\);

c) \({x^2} + 8xy + 16{y^2} = {\left( {x + 4y} \right)^2}\);

d) \(4{x^2} - 12xy + 9{y^2} = {\left( {2x - 3y} \right)^2}\). 

Bài 2.3 trang 33 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Tính nhanh:

a) \(54.66\);

b) \({203^2}\).

Phương pháp:

Sử dụng 2 hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l} + ){A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\\ + ){\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\end{array}\)

Lời giải:

a) 54 . 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 60² – 6²

= 3 600 – 36 = 3564;

b) 203² = (200 + 3)² = 200² + 2 . 200 . 3 + 3²

= 40 000 + 1 200 + 9 = 41 209.

Bài 2.4 trang 33 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) \({x^2} + 4x + 4\)

b) \(16{a^2} - 16ab + 4{b^2}\)

Phương pháp:

Sử dụng 2 hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l} + ){\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\\ + ){\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\end{array}\)

Lời giải: 

a) \({x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2.x.2 + {2^2} = {\left( {x + 2} \right)^2}\)

b) \(16{a^2} - 16ab + 4{b^2} = {\left( {4a} \right)^2} - 2.4a.2b + {\left( {2b} \right)^2} = {\left( {4a - 2b} \right)^2}\)

Bài 2.5 trang 33 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \({\left( {x - 3y} \right)^2} - {\left( {x + 3y} \right)^2}\)

b) \({\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {4x - 3y} \right)^2}\)

Phương pháp:

Sử dụng ba hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l} + ){A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\\ + ){\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\\ + ){\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\end{array}\)

Lời giải: 

a) (x – 3y)² – (x + 3y)² = [(x – 3y) + (x + 3y)] [(x – 3y) – (x + 3y)]

= (x – 3y + x + 3y)(x – 3y – x – 3y) = 2x . (–6y) = –12xy;

b) (3x + 4y)² + (4x – 3y)²

= (3x)² + 2 . 3x . 4y + (4y)² + (4x)² – 2 . 4x . 3y + (3y)²

= (3x)² + (4y)² + (4x)² + (3y)² = 9x² + 16y² + 16x² + 9y²

= 25x² + 25y².

Bài 2.6 trang 33 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:

\({\left( {n + 2} \right)^2} - {n^2}\) chia hết cho 4.

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\)

Nếu 2 số nguyên a, b thỏa mãn a chia hết cho 4 thì a.b chia hết cho 4.

Lời giải: 

Ta có:

\({\left( {n + 2} \right)^2} - {n^2} = \left( {n + 2 - n} \right).\left( {n + 2 + n} \right) = 2.\left( {2n + 2} \right) = 2.2.\left( {n + 1} \right) = 4.\left( {n + 1} \right)\).

Vì \(4 \vdots 4\) nên \(4\left( {n + 1} \right) \vdots 4\) với mọi số tự nhiên n. 

Giaibaitap.me