Bài 9 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:

\(\root n \of {ab}  = \root n \of a .\root n \of b \) ( \(a \ge 0,b \ge 0\), n nguyên dương)

Giải

Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:

\({\left( {\root n \of a .\root n \of b \,} \right)^n} = {\left( {\root n \of a } \right)^n}.{\left( {\root n \of b } \right)^n} = ab\)

Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có \(\root n \of {ab}  = \root n \of a .\root n \of b \).

Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh:

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2;\) 

b) \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3\)

Giải

a) Ta có \(4 \pm 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 = {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}\)

nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  \)

\(= \left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \left( {\sqrt 3  - 1} \right) = 2\)

b) Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)

Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}\)

\( = 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80}  + 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } .x\)

\( = 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x\).

Do đó: \({x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)\)

Mà \({x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra

x=3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))

Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3\)

Bài 11 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

So sánh các số

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \)                b) \({3^{600}}\) và \({5^{400}}\)

c) \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}}\)và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\)                        d) \({7^{30}}\) và \({4^{40}}\)

Giải

a) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}} = {3^{ - {5 \over {12}}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} }  = \root 3 \of {{3^{ - 1}}{1 \over {{3^{{1 \over 4}}}}}}  = \root 3 \of {{3^{ - 1}}{3^{ - {1 \over 4}}}}  = \root 3 \of {{3^{ - {5 \over 4}}}}  = {3^{ - {5 \over {12}}}}\).

Vậy \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}}\) = \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \)

b) Ta có: \({3^{600}} = {\left( {{3^3}} \right)^{200}} = {27^{200}}\) và \({5^{400}} = {\left( {{5^2}} \right)^{200}} = {25^{200}}\).

Vậy \({3^{600}}\) > \({5^{400}}\)

c) Ta có: \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}} = {2^{{5 \over 7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2}}}{.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2} + {3 \over {14}}}} = {2^{{5 \over 7}}}\).

Vậy \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}}\)= \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\).

d) Ta có: \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}\);

\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}\).

Vậy \({7^{30}}\) >\({4^{40}}\)

Giaibaitap.me