Bài 20 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1\,\,\left( {a > 0} \right);\)

b) \({3^{\left| \alpha  \right|}} < 27.\)

Giải

a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{a^{{\alpha  \over 2}}} - {a^{ - {\alpha  \over 2}}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {a^{{\alpha  \over 2}}} = {a^{ - {\alpha  \over 2}}}\)(*)

- Nếu \(a \ne \,1\) thì (*) \( \Leftrightarrow {\alpha  \over 2} =  - {\alpha  \over 2} \Leftrightarrow \alpha  = 0\)

- Nếu \(a = 1\) thì (*) \( \Leftrightarrow \alpha \) là số thực tùy ý.

b) \({3^{\left| \alpha  \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha  \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha  \right| < 3 \Leftrightarrow  - 3 < \alpha  < 3.\)

Bài 21 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \root 4 \of x \):

a) \(\sqrt x  + \root 4 \of x  = 2;\)                       

b) \(\sqrt x  - 3\root 4 \of x  + 2 = 0\).

Giải

a) Điều kiện \(x \ge 0\)
Đặt \(t = \root 4 \of x \left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình \({t^2} + t = 2\).

Ta có

\({t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2\text{ loại } \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \root 4 \of x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S =\(\left\{ 1 \right\}\)

b) Điều kiện \(x \ge 0\). Đặt \(t = \root 4 \of x \,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình

\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\root 4 \of x = 1 \hfill \cr
\root 4 \of x = 2 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 16 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {1;16} \right\}\)

Bài 22 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các bất phương trình sau:

\(a){x^4} < 3;\)            \(b){x^{11}} \ge 7;\)

\(c){x^{10}} > 2;\)           \(d){x^3} \le 5;\)

Giải

\(a)\,\,{x^4} < 3 \Leftrightarrow \left| x \right| < \root 4 \of 3  \Leftrightarrow  - \root 4 \of 3  < x < \root 4 \of 3 \).

Tập nghiệm \(S = \left( { - \root 4 \of 3 ;\root 4 \of 3 } \right)\)

\(b)\,\,{x^{11}} \ge 7 \Leftrightarrow x \ge \root {11} \of 7 ;\)

Vậy \(S = \left[ {\root {11} \of 7 ; + \infty } \right)\)

\(c)\,\,{x^{10}} > 2 \Leftrightarrow \left| x \right| > \root {10} \of 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - \root {10} \of 2 \hfill \cr
x > \root {10} \of 2 \hfill \cr} \right..\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - \root {10} \of 2 } \right) \cup \left( {\root {10} \of 2 ; + \infty } \right)\)

\(d)\,\,{x^3} \le 5 \Leftrightarrow x \le \root 3 \of 5 \,\,\,\text{ Vậy } S = \left( { - \infty ;\root 3 \of 5 } \right)\)

Giaibaitap.me