Bài 76 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải phương trình:

\(\eqalign{
& a)\,{4^{ - {1 \over x}}} + {6^{ - {1 \over x}}} = {9^{ - {1 \over x}}}; \cr
& c)\,3\sqrt {{{\log }_2}x} - {\log _2}8x + 1 = 0; \cr} \)

\(\eqalign{
& b)\,{4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0; \cr
& d)\,\log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) + {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = 8. \cr} \)                                  

Giải

a) Điều kiện: \(x \ne 0\)

Chia hai vế phương trình cho \({4^{ - {1 \over x}}}\) ta được: \(1 + {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {\left( {{9 \over 4}} \right)^{ - {1 \over x}}}\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có phương trình: 

\({t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr
t = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left(\text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\) 

\(\eqalign{
& t = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - {1 \over x}}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\cr& \Leftrightarrow - {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
&  \Leftrightarrow {1 \over x} = {\log _{{3 \over 2}}}{\left( {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}} \right)^{ - 1}} = {\log _{{3 \over 2}}}\left( {{{\sqrt 5 - 1} \over 2}} \right) \cr
&  \Leftrightarrow x = {\log _{{{\sqrt 5 - 1} \over 2}}}{3 \over 2} \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_{{{\sqrt 5  - 1} \over 2}}}{3 \over 2}} \right\}\)

b) Điều kiện: \(x > 0\)

\({4^{\ln x + 1}} - {6^{\ln x}} - {2.3^{\ln {x^2} + 2}} = 0\)

\(\Leftrightarrow {4.4^{\ln x}} - {6^{\ln x}} - {18.9^{\ln x}} = 0\)       

Chia hai vế của phương trình cho \({4^{\ln x}}\), ta được:

                   \(4 - {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} - 18{\left( {{9 \over 4}} \right)^{\ln x}} = 0\)

Đặt \(t = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}}\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: 

\(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr
t = - {1 \over 2}\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 2}} \right)^{\ln x}} = {\left( {{3 \over 2}} \right)^{ - 2}} \Leftrightarrow \ln x =  - 2 \)

\(\Leftrightarrow x = {e^{ - 2}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{e^{ - 2}}} \right\}\)

c) Điều kiện: \({\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}x} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2}\)       

\(\eqalign{
& 3\sqrt {{{\log }_2}x} \, - {\log _2}8x + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\log }_2}x} - 3-{\log _2}x + 1 = 0 \cr} \)

Ta có phương trình: \(3t - 2 - {t^2} = 0\)                               

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {{{\log }_2}x} = 1 \hfill \cr
\sqrt {{{\log }_2}x} = 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^4} = 16 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;16} \right\}\)

d) Điều kiện: \(x > 0\). Với điều kiện ta có:                   

\(\eqalign{
& \log _{{1 \over 2}}^2\left( {4x} \right) = {\left( {\log _{{1 \over 2}}4 + \log _{{1 \over 2}}x} \right)^2} = \left( { - 2 - {{\log }_2}x} \right)^2 \cr&= {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} \cr
& {\log _2}{{{x^2}} \over 8} = {\log _2}{x^2} - {\log _2}8 = 2{\log _2}x - 3 \cr} \)

Ta có phương trình: \({\left( {{{\log }_2}x + 2} \right)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 8\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) ta được: \({\left( {t + 2} \right)^2} + 2t - 11 = 0\)     

\(\eqalign{
& {t^2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^{ - 7}} \hfill \cr} \right. \cr} \)              

Vậy \(S = \left\{ {2;{2^{ - 7}}} \right\}\)        

Bài 77 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải phương trình:

 \(a)\,{2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\,;\) 

\(b)\,{4^{3 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{{1 \over 2}}}\)                                         

Giải

a) Ta có: \(\,{2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\, \Leftrightarrow {2^{1 - {{\cos }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6\)

Đặt \(t = {2^{{{\cos }^2}x}}\,\left( {1 \le t \le 2} \right)\)

Ta có: 

\({2 \over t} + 4t = 6 \Leftrightarrow 4{t^2} - 6t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = {1 \over 2}\,\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi ,\,k \in \mathbb Z\)       

b) Đặt \(t = {4^{t + \cos 2x}}\,\left( {t > 0} \right)\)

Ta có: \({4.4^{2\left( {1 + \cos 2x} \right)}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = 2\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4{t^2} - 7t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 2 \hfill \cr
t = - {1 \over 4}\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {2^{2 + 2\cos 2x}} = 2 \Leftrightarrow 2 + 2\cos 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = - {1 \over 2} = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {2\pi \over 3} + k\pi ,\,k \in \mathbb Z \cr} \)

Bài 78 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải phương trình

\(a)\,\left( {{1 \over 3}} \right) ^x= x + 4\,;\)

\(b)\,{\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} = 1.\)

Giải

a) Rõ ràng \(x=-1\) là nghiệm của phương trình

Với \(x<-1\) ta có \({\left( {{1 \over 3}} \right)^{ - x}} > 3 > x + 4\) phương trình không có nghiệm \(x<-1\)

Với \(x>-1\) ta có \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{1 \over 3}} \right)^{ - 1}} = 3 < x + 4\) phương trình không có nghiệm \(x>-1\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)

b) Rõ ràng \(x=2\) là nghiệm của phương trình

Do \( 0 < \sin {\pi  \over 5} < 1\) và \(0 < \cos {\pi  \over 5} < 1\) nên:

Nếu \(x>2\) thì \({\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} < {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^2}\) và \({\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} < {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2} < 1\)

- Nếu \(x < 2\) thì \({\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} > {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^2}\) và \({\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} > {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

                  \( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2} > 1\)   

Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\)

Bài 79 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải hệ phương trình :

\(a)\,\left\{ \matrix{
{3.2^x} + {2.3^y} = 2,75 \hfill \cr
{2^x} - {3^y} = - 0,75\,; \hfill \cr} \right.\)

\(b)\,\,\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5  \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.\)                                                   

 Giải

a) Đặt \(u = {2^x},\,v = {3^y}\,\left( {u > 0,\,v > 0} \right)\)

Ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
3u + 2v = 2,75 \hfill \cr
u - v = - 0,75 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = {1 \over 4} \hfill \cr
v = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{2^x} = {1 \over 4} \hfill \cr
{3^y} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)                               

Vậy \(S = \left\{ {\left( { - 2;0} \right)} \right\}\)

b) Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\). Khi đó \({\log _5}y = {\log _5}7.{\log _7}y\) và \({\log _2}5.{\log _5}x = {\log _2}x\) nên ta có thể biến đổi tương đương hệ đã cho thành:

\(\eqalign{
& \,\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}x \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _5}xy = {\log _5}10 \hfill \cr
{\log _2}8y = {\log _2}5{x^3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
xy = 10\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
8y = 5{x^3}\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)                   

Thay \(y = {{5{x^3}} \over 8}\) vào (1) ta được: \({{5{x^4}} \over 8} = 10 \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2\) (vì \(x > 0\))

Với \(x = 2\) ta có \(y = {{10} \over x} = 5\).

Vậy \(S = \left\{ {\left( {2;5} \right)} \right\}\)

Giaibaitap.me