Bài 69 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau:

\(\eqalign{
& a)\,{\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0 \cr
& c)\,{\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}243 = 0 \cr} \) \(b)\,{{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}\)

Giải

a) Điều kiện: \(x> 0\)

\(\eqalign{
& \,{\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0\cr& \Leftrightarrow {\left( {3\log x} \right)^2} - 10\log x + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 9{\log ^2}x - 10\log x + 1 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\log x = 1 \hfill \cr
\log x = {1 \over 9} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = {10^{{1 \over {9}}}} = \root 9 \of {10} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {10;\root 9 \of {10} } \right\}\)
b) \(\,{{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Điều kiện: \(x > 0\), \(x \ne {1 \over 2},\,x \ne {1 \over 8}\)
Ta có: \({\log _4}2x = {{{{\log }_2}2x} \over {{{\log }_2}4}} = {{1 + {{\log }_2}x} \over 2}\)

\(\eqalign{
& {\log _8}4x = {{{{\log }_2}4x} \over {{{\log }_2}8}} = {{2 + {{\log }_2}x} \over 3} \cr
& {\log _{16}}8x = {{{{\log }_2}8x} \over {{{\log }_2}16}} = {{3 + {{\log }_2}x} \over 4} \cr} \)

Đặt \(t = {\log _2}x\) thì (1) thành: \({{2t} \over {1 + t}} = {{4\left( {2 + t} \right)} \over {3\left( {3 + t} \right)}} \Leftrightarrow 6t\left( {3 + t} \right) = 4\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 18t + 6{t^2} = 8 + 12t + 4{t^2} \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t - 8 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \left[ \matrix{
{\log _2}x = 1 \hfill \cr
{\log _2}x = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = {2^{ - 4}} = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2;{1 \over {16}}} \right\}\)
c) Điều kiện: \(x > 0\); \(x \ne {1 \over 9},\,x \ne {1 \over 3}\)
Ta có: \({\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{27}}9x}} - {1 \over {{{\log }_3}3x}} + {\log _{{3^2}}}{3^5} = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{{3^3}}}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over {{{\log }_3}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over {2 + {{\log }_3}x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr} \)

Đặt \({\log _3}x = t\)
Ta có phương trình: \({3 \over {t + 2}} - {1 \over {t + 1}} + {5 \over 2} = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 6\left( {t + 1} \right) - 2\left( {t + 2} \right) + 5\left( {t + 2} \right)\left( {t + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 0,8 \hfill \cr
t = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _3}x = - 0,8 \hfill \cr
{\log _3}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {3^{ - 0,8}} \hfill \cr
x = {3^{ - 3}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{3^{ - 3}};{3^{ - 0,8}}} \right\}\)

Bài 70 trang 125 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau:

\(\eqalign{
& a)\,{3^{4x}} = {4^{3x}} \cr
& b)\,{3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \cr} \)          

\(\eqalign{
& c)\,{3^x}{.8^{{x \over {x + 1}}}} = 36 \cr
& d)\,{x^6}{.5^{ - {{\log }_x}5}} = {5^{ - 5}} \cr} \)

Giải

\(\eqalign{
& a)\,{3^{4x}} = {4^{3x}} \Leftrightarrow {4^x}{\log _3}3 = {3^x}{\log _3}4 \Leftrightarrow {{{4^x}} \over {{3^x}}} = {\log _3}4 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {{4 \over 3}} \right)^x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _{{4 \over 3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right) \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{{\log }_{{4 \over 3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)} \right\}\)
b) Điều kiện: \(x > 0\)

\(\eqalign{
& {3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \Leftrightarrow {{{3^2}} \over {{3^{{{\log }_3}x}}}} = 81x \cr
& \Leftrightarrow {9 \over x} = 81x \Leftrightarrow {x^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\,\,\left( {\text{ vì }\,x > 0} \right) \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\)
c) Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:
\(x{\log _3}3 + {x \over {x + 1}}{\log _3}8 = x + {{3x} \over {x + 1}}{\log _3}2 = 2 + 2.{\log _3}2\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} + x + 3\left( {{{\log }_3}2} \right)x = 2x + 2 \cr&\;\;\;+ 2(x+1)\left( {{{\log }_3}2} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_3}2 - 1} \right)x - 2.{\log _3}2 -2= 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
x = - 1 - {\log _3}2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {2; - 1 - {{\log }_3}2} \right\}\)
d) Điều kiện: \(x > 0\);
Lấy logarit cơ số x hai vế ta được:

\(\eqalign{
& 6 + \left( { - {{\log }_x}5} \right).{\log _x}5 = - 5{\log _x}5 \cr
& \Leftrightarrow \log _x^25 - 5{\log _x}5 - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _x}5 = - 1 \hfill \cr
{\log _x}5 = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5 = {x^{ - 1}} \hfill \cr
5 = {x^6} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = \root 6 \of 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ {{1 \over 5};\root 6 \of 5 } \right\}\)

Bài 71 trang 125 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau:

\(a)\,{2^x} = 3 - x\)               \(b)\,{\log _2}x = 3 - x\)

Giải

a) \(x = 1\) là nghiệm phương trình

Với \(x < 1\) ta có \({2^x} < 2 < 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x < 1\)

Tương tự với \(x > 1\) ta có \({2^x} > 2 > 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x > 1\).

Vậy \(S = \left\{ 1 \right\}\)

b) Điệu kiện: \(x > 0\).

Rõ ràng \(x = 2\) là nghiệm phương trình

Với \(x > 2\) thì \({\log _2}x > 1 > 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Với \(x<2\) thì  \({\log _2}x < 1 < 3 - x\) nên phương trình không có nghiệm \(x \in \left( {- \infty;2 } \right)\)

Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\)

Giaibaitap.me