Bài 63 trang 123 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau:

\(\eqalign{
& a)\,{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 - \sqrt 3 ; \cr 
& c)\,{2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9; \cr} \)     

\(\eqalign{
& b)\,{2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4; \cr 
& d){\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x. \cr} \)

Giải

a) Ta có \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1\) nên \(2 - \sqrt 3  = {1 \over {2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\)
Do đó \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 - \sqrt 3\)

\(  \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}} \)

\(\Leftrightarrow 2x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - {1 \over 2}\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)
b)

\({2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} = {2^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {0;3} \right\}\)
c)

\(\eqalign{
& {2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9 \Leftrightarrow {6.3^x} - {6 \over 3}{.3^x} - {3^x} = 9 \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3.3^x} = 9 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)

vậy \(S = \left\{ 1 \right\}\)
d)

\(\eqalign{
& {\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}}\cr& \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x} \cr 
&\Leftrightarrow {8.3^x} = 8 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \cr} \)

Vậy  \(S = \left\{ 0 \right\}\)

Bài 64 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau: 

a) \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\)

b) \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\)

Giải

a) Điều kiện: \(x\left( {x - 1} \right) > 0\)

\({\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \text{ thỏa mãn } \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\)
b) Điều kiện: \(x > 1\)

\(\eqalign{
& {\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1(\text{ loại }) \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\)

Bài 65 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao

Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dẽ dàng chọn đúng sóng 
Radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d (cm) thì ứng tần số \(F = k{a^{d\,}}\,\,\left( {kHz} \right)\), trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng trên trái ứng với tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số 160 kHz, và hai vạch này cách nhau 12 cm.

a) Hãy tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn).
b) Giả sử đã cho F, hãy giải phương trình \(F = k{a^{d\,}}\)với ẩn d.
c) Áp dụng kết quả của b), hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm).

Giải

a) Ta có với d = 0 thì F = 53 do đó \(53 = k.{a^o} \Rightarrow k = 53\)
Với d = 12 thì F =160 đo đó \(160 = k.{a^{12}} = 53.{a^{12}} \Rightarrow a = \root {12} \of {{{160} \over {53}}}  \approx 1,096\)
b) \(k{a^d} = F \Leftrightarrow {a^d} = {F \over k} \Leftrightarrow d = {\log _a}\left( {\log F - \log k} \right) \)

\(\approx 25,119\log F - 43,312\)
c)

Giaibaitap.me