Bài 5 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)
a) ${{{{\left( {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right)}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }}$ 

b) ${{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}}$

Giải

a) ${{{{\left( {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right)}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }} = {{{a^3}{b^2}} \over {\root 6 \of {{a^{12}}{b^6}} }} = {{{a^3}{b^2}} \over {{a^2}b}} = ab$

b) ${{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}} = {{{a^{{1 \over 3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)} \over {{a^{{1 \over 3}}}\left( {1-a} \right)}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)} \over {{a^{ - {1 \over 3}}}\left( {a + 1} \right)}}$

$= \left( {1 + a} \right) - \left( {1 - a} \right) = 2a.$

Bài 6 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

So sánh các số

a) $\sqrt 2$ và $\root 3 \of 3$;              b) $\sqrt 3  + \root 3 \of {30}$ và $\root 3 \of {63}$;

c) $\root 3 \of 7  + \sqrt {15}$ và $\sqrt {10}  + \root 3 \of {28}$;

Giải

a) Ta có ${\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = {2^3} = 8$; ${\left( {\root 3 \of 3 } \right)^6} = {3^2} = 9$

Do 9>8 nên ta có ${\left( {\sqrt 2 } \right)^6}$ < ${\left( {\root 3 \of 3 } \right)^6}$, suy ra $\sqrt 2$ < $\root 3 \of 3$.

b) $\sqrt 3  + \root 3 \of {30}  > 1 + \root 3 \of {27}  = 4 = \root 3 \of {64}  > \root 3 \of {63}$.

c) $\root 3 \of 7  + \sqrt {15}  < 2 + 4 = 3 + 3 < \sqrt {10}  + \root 3 \of {28}$.

Bài 7 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh $\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2$

Giải

Đặt $x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }$ Ta có:

${x^3} = \left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right)^3$

$= 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2$

$+ 3\root 3 \of {{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }$

$+ 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}$

$= 14 - 3\left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right) = 14 - 3x$.

Từ đó suy ra: ${x^3} + 3x - 14 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ ( vì ${x^2} + 2x + 7 > 0$)

Vậy $\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2$

Bài 8 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đơn giản biểu thức:

a) ${{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a  + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }}$;                     

b) ${{a - b} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }}$;

c) $\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2};$ 

d) ${{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a  + \root 4 \of a } \over {\sqrt a  + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1.$

Giải

a) ${{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a  + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }} = {{\left( {\root 4 \of a  + \root 4 \of b } \right)\left( {\root 4 \of a  - \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a  + \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }}$

$= \root 4 \of a  + \root 4 \of b  - \root 4 \of a  = \root 4 \of b$

b) ${{a - b} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} = {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} - {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }}$

$= \root 3 \of {{a^2}}  + \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}}  - \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right)$

$= 2\root 3 \of {ab}$

c) $\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}$

$= \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}}  - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}$

$= \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - 2\root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}$

$= {\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}:{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2} = 1$

d) ${{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a  + \root 4 \of a } \over {\sqrt a  + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1.$

$= {{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\root 4 \of a  + 1} \right)}}.{{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a  + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\root 4 \of a  + 1$

 $= \sqrt a  - 1 + 1 = \sqrt a$

Giaibaitap.me