Bài 5 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)
a) \({{{{\left( {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right)}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }}\) 

b) \({{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}}\)

Giải

a) \({{{{\left( {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right)}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }} = {{{a^3}{b^2}} \over {\root 6 \of {{a^{12}}{b^6}} }} = {{{a^3}{b^2}} \over {{a^2}b}} = ab\)

b) \({{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}} = {{{a^{{1 \over 3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)} \over {{a^{{1 \over 3}}}\left( {1-a} \right)}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)} \over {{a^{ - {1 \over 3}}}\left( {a + 1} \right)}}\)

\(= \left( {1 + a} \right) - \left( {1 - a} \right) = 2a.\)

Bài 6 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

So sánh các số

a) \(\sqrt 2 \) và \(\root 3 \of 3 \);              b) \(\sqrt 3  + \root 3 \of {30} \) và \(\root 3 \of {63} \);

c) \(\root 3 \of 7  + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10}  + \root 3 \of {28} \);

Giải

a) Ta có \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = {2^3} = 8\); \({\left( {\root 3 \of 3 } \right)^6} = {3^2} = 9\)

Do 9>8 nên ta có \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6}\) < \({\left( {\root 3 \of 3 } \right)^6}\), suy ra \(\sqrt 2 \) < \(\root 3 \of 3 \).

b) \(\sqrt 3  + \root 3 \of {30}  > 1 + \root 3 \of {27}  = 4 = \root 3 \of {64}  > \root 3 \of {63} \).

c) \(\root 3 \of 7  + \sqrt {15}  < 2 + 4 = 3 + 3 < \sqrt {10}  + \root 3 \of {28} \).

Bài 7 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2\)

Giải

Đặt \(x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \) Ta có:

\({x^3} = \left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right)^3\)

\( = 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2  \)

\(+ 3\root 3 \of {{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \)

\(+ 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}} \)

\( = 14 - 3\left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right) = 14 - 3x\).

Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) ( vì \({x^2} + 2x + 7 > 0\))

Vậy \(\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2\)

Bài 8 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đơn giản biểu thức:

a) \({{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a  + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }}\);                     

b) \({{a - b} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }}\);

c) \(\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2};\) 

d) \({{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a  + \root 4 \of a } \over {\sqrt a  + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1.\)

Giải

a) \({{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a  + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }} = {{\left( {\root 4 \of a  + \root 4 \of b } \right)\left( {\root 4 \of a  - \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a  + \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }}\)

\( = \root 4 \of a  + \root 4 \of b  - \root 4 \of a  = \root 4 \of b \)

b) \({{a - b} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} = {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} - {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }}\)

\( = \root 3 \of {{a^2}}  + \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}}  - \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right)\)

\(= 2\root 3 \of {ab} \)

c) \(\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2} \)

\(= \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}}  - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}\)

\( = \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - 2\root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}\)

\(= {\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}:{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2} = 1\)

d) \({{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a  + \root 4 \of a } \over {\sqrt a  + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1. \)

\(= {{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\root 4 \of a  + 1} \right)}}.{{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a  + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\root 4 \of a  + 1\)

 \( = \sqrt a  - 1 + 1 = \sqrt a \)

Giaibaitap.me