Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Giải

Tập xác định \(D=\mathbb R\)

\(y' = a - 3{x^2}\)

• Nếu \(a < 0\) thì \(y' < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

• Nếu \(a = 0\) thì \(y' =  - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

• Nếu \(a > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x =  \pm {\sqrt {a  \over 3}}\)

Ta có bảng biến thiên

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên  \({\mathbb R}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\).

Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb R\).

Giải

Tập xác định \(D = \mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + 4\);

\(\Delta  = {a^2} - 4\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr 
\Delta ' \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr 
{a^2} - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\)

Vậy \( - 2 \le a \le 2\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) \(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\) 

b) \(y =  - {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 \over 3}\)

c) \(y = {{{x^2} - 8x + 9} \over {x - 5}}\)             

d) \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \)

e) \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \) 

f) \(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\)

Giải

a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).

b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(y' =  - 4{x^2} + 12x - 9 =  - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\)

\(=  - {\left( {2x - 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = {3 \over 2}\). Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\)

\(y' = {{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 5\)

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\). TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)

\(y' = {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

e) TXĐ: \(D = \mathbb R\) (vì \({x^2} - 2x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb R\))

\(y' = {{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

f) TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(y' =  - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne  - 1\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) .

Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Giải

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) =  - 2\sin 2x - 2 \le 0\)

\(\Leftrightarrow  - 2\left( {\sin 2x + 1} \right) \le 0,\forall x \in \mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x =  - 1 \)

\(\Leftrightarrow 2x =  - {\pi  \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\Leftrightarrow x =  - {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 4} + k\pi ; - {\pi  \over 4} + k\pi  + \pi } \right]\)

Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi \(\mathbb R\)

Giaibaitap.me