Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Giải

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;- 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\; = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;= 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr} \)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên: \(\,\,f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1\). Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = 1\)

\(*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2}\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi  \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = {1 \over 2}\).

Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\);

b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\);

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);

d) \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\);

e) \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);

f) \(f\left( x \right) = x - {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\);

Giải

a) \(D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left( x \right) = 2x + 2;f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow  x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) =  - 5;f\left( { - 1} \right) =  - 6;f\left( 3 \right) = 10\).

Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]}  =  - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \).

b)

\(D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr 
x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( { - 4} \right) =  - {{16} \over 3};f\left( { - 1} \right) =  - {{16} \over 3};\)

\(f\left( { - 3} \right) =  - 4;f\left( 0 \right) =  - 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]}  =  - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]}  =  - 4\).

c) \(D = \left( {0; + \infty } \right);f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\)với mọi \(x \ne 0,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)}  = 2\). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

d) \(D = \left[ {2;4} \right];f'\left( x \right) =  - 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) =  - 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  =  - 4;\,\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  = 4\).

e)

\(D = \left[ {0;1} \right];f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr 
x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over 3}\)

f) \(D = \left( {0;2} \right];f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)

\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]}  = {3 \over 2}\) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).

Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\)

b) \(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\)

Giải

a) Đặt \(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).

\(f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) =  - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  =  - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = 3\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  =  - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\).

b) Ta có: \(y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4\)

                  \(=  - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\)

Đặt \(t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) =  - {t^2} - {1 \over 2}t + 5;f'\left( t \right) =  - 2t - {1 \over 2};\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {{81} \over {16}}\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{81} \over {16}}\).

Giaibaitap.me