Bài 11 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\);

b) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\)

c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\);

d) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\)

e) \(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} - {{{x^3}} \over 3} + 2\);

f) \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 3} \over {x - 1}}\)

Giải

a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = - 3 \hfill \cr} \right.;\)

\(f\left( { - 1} \right) = - {7 \over 3};\,f\left( { - 3} \right) = - 1\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x =  - 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 3} \right) =  - 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { - 1} \right) =  - {7 \over 3}\)

b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ' < 0\))

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) , không có cực trị.
c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr 
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) =  - 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\).

d) TXĐ: \(D=\mathbb R\) Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr 
- x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\)

Với \(x > 0:\,f'\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x>0\)

Với \(x < 0:\,f'\left( x \right) =  - 2x - 2\)

\(\,f'\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - 1\); \(f\left( { - 1} \right) = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\)

e) TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr 
x = - 1;f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr 
x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = {{32} \over {15}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\)

f) TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y'\left( x \right) = {{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = - 3 \hfill \cr 
x = 2;f\left( 2 \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) =  - 3\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), giá trị cực tiểu \(f\left( 2 \right) = 1\)

Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} \)              b) \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

c) \(y = x - \sin 2x + 2\)      d) \(y = 3 - 2\cos x - \cos 2x\)

Giải

a) Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)

\(y' = \sqrt {4 - {x^2}}  + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - \sqrt 2 \); giá trị cực tiểu \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \); giá trị cực đại \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)

\(y' = {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }};\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\,y' = 1 - 2\cos 2x;\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi  \over 3} \)

             \(\Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\)

\(y'' = 4\sin 2x\)

* Ta có: \(y''\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - {\pi  \over 3}} \right) =  - 2\sqrt 3  < 0\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x =  - {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại

\(y\left( { - {\pi  \over 6} + k\pi } \right) =  - {\pi  \over 6} + k\pi  + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

 \(y''\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {{\pi  \over 3}} \right) = 2\sqrt 3  > 0\).

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực tiểu:

\(y\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = {\pi  \over 6} + k\pi  - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

d) Áp dụng quy tắc 2.

\(\,y' = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr 
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr 
x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi \hfill \cr} \right.\)

\(y'' = 2\cos x + 4\cos 2x.\)
 \(y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi  + 4\cos 2k\pi  \)

                \(= 2\cos k\pi  + 4 > 0\) với mọi \(k \in {\mathbb{Z}}\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:

\(y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi  - \cos 2k\pi  = 2 - 2\cos k\pi \)

 \(y''\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3} + 4\cos {{4\pi } \over 3} \)

                                 \(= 6\cos {{2\pi } \over 3} =  - 3 < 0.\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại:

\(y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\).

Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số:  \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1.\)

Giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

\(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)

\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)

\(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\)

\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
3a + 2b = 0 \hfill \cr 
a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr 
b = 3 \hfill \cr} \right.\)

Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được:

\(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 3{x^2};\,\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6x;\)

\(f''\left( x \right) =  - 12x + 6\)

\(f''\left( 0 \right) = 6 > 0\) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\); \(f\left( 0 \right) = 0;f''\left( 1 \right) =  - 6 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1;f\left( 1 \right) = 1\)

Vậy \(a =  - 2;b = 3;c = d = 0\).

Giaibaitap.me