Bài 38 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đơn giản các biểu thức:

a) \(\log {1 \over 8} + {1 \over 2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 \);

b) \(\log {4 \over 9} + {1 \over 2}\log 36 + {3 \over 2}\log {9 \over 2}\);

c) \(\log 72 - 2\log {{27} \over {256}} + \log \sqrt {108} \);

d) \(\log {1 \over 8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \).

Giải

a) \(\log {1 \over 8} + {1 \over 2}\log 4 + 4\log \sqrt 2  =  - \log 8 + \log 2 + \log 4 \)

\(=  - \log 8 + \log 8 = 0\)

b) \(\log {4 \over 9} + {1 \over 2}\log 36 + {3 \over 2}\log {9 \over 2} = \log \left( {{4 \over 9}.6\sqrt {{{\left( {{9 \over 2}} \right)}^3}} } \right) \)

\(= \log \left( {{4 \over 9}.6.{{{3^3}} \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} } \right)\)

\( = \log \left( {{4 \over 9}{{.3}^4}.{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = \log \left( {18\sqrt 2 } \right)\)

c) \(\log 72 - 2\log {{27} \over {256}} + \log \sqrt {108} \)

\(= \log \left( {{2^3}{{.3}^2}} \right) - \log {{{3^6}} \over {{2^{16}}}} + \log \sqrt {{2^2}{{.3}^3}} \)

\( = \log \left( {{2^3}{{.3}^2}:{{{3^6}} \over {{2^{16}}}}{{.2.3}^{{3 \over 2}}}} \right) \)

\(= \log \left( {{2^{20}}{{.3}^{ - {5 \over 2}}}} \right) = 20\log 2 - {5 \over 2}\log 3\).

d) \(\log {1 \over 8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \)

\(= \log {2^{ - 3}} - \log \left( {0,{5^3}.3} \right) + \log \left( {0,{5^4}{{.3}^2}} \right)\)

\( = \log {2^{ - 3}} - \log {2^{ - 3}} - \log 3 + 2\log {2^{ - 2}} + 2\log 3 \)

\(= \log {2^{ - 4}} + \log 3 = \log {3 \over {16}}\).

Bài 39 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm x, biết:

a) \({\log _x}27 = 3\);         b) \({\log _x}{1 \over 7} =  - 1\);       

c) \({\log _x}\sqrt 5  =  - 4\);

Giải

Áp dụng: \({\log _a}b = c \Leftrightarrow b = {a^c}.\) Điều kiện: x>0 và \(x \ne 1\)

a) \({\log _x}27 = 3 \Leftrightarrow {x^3} = 27 = {3^3} \Leftrightarrow x = 3\).

b) \({\log _x}{1 \over 7} =  - 1 \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = {1 \over 7} = {7^{ - 1}} \Leftrightarrow x = 7\).

c) \({\log _x}\sqrt 5  =  - 4 \Leftrightarrow {x^{ - 4}} = \sqrt 5  \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{ - {1 \over 4}}} = {5^{ - {1 \over 8}}}\).

Bài 40 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Số nguyên tố dạng \({M_p} = {2^p} - 1\), trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện \({M_{31}}\) năm 1750.

Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện \({M_{127}}\) năm 1876.

\({M_{1398269}}\) được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

(Dễ thấy rằng chữ số của \({2^p} - 1\) bằng chữ số của \({2^p}\)và để tính chữ số của \({M_{127}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30\) và để tính chữ số của \({M_{1398269}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30103\) (xem ví dụ 8)

Giải

\({M_{31}} = {2^{31}} - 1\) và số các chữ số của \({M_{31}}\) khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của \({2^{31}}\) nên số các chữ số của \({M_{31}}\) là

\(\left[ {31.\log 2} \right] + 1 = \left[ {9,3} \right] + 1 = 10\)

Tương tự, số các chữ số của \({M_{127}} = {2^{127}} - 1\) khi viết trong hệ thập phân là

\(\left[ {127.\log 2} \right] + 1 = \left[ {38,23} \right] + 1 = 39\)

Số các chữ số của \({M_{1398269}}\) khi viết trong hệ thập phân là

\(\left[ {1398269.\log 2} \right] + 1 = 420921\)

Bài 41 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

Giải

Số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sẽ có sau n quý là

\(S = 15{\left( {1 + 0,0165} \right)^n} = 15.1,{0165^n}\) (triệu đồng)

Từ đó \(\log S = \log 15 + n\log 1,0165,\,\) hay \(\,n = {{\log S - \log 15} \over {\log 1,0165}}\)

Để có được số tiền 20 triệu đồng thì phải sau một thời gian là

\(\,n = {{\log 20 - \log 15} \over {\log 1,0165}} \approx 17,58\) (quý).

Vậy sau khoảng 4 năm 6 tháng (4 năm 2 quý), người gửi sẽ có ít nhất 20 triệu đồng từ số vốn 15 triệu đồng ban đầu (vì hết quý thứ hai, người gửi mới được nhận lãi của quý đó).

Giaibaitap.me