Bài 21 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :
a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng $2x + 3y + z - 17 = 0$;
b) M cách đều hai mặt phẳng $x + y - z + 1 = 0$ và $x - y + z + 5 = 0$

Giải

a) Giả sử $M\left( {0;0;c} \right)$ thuộc trục Oz.
Ta có $MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}}$ và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là $d = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}$

$MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{\left( {4 - c} \right)}^2}}  = {{\left| {c - 17} \right|} \over {\sqrt {14} }}$

$\Leftrightarrow 13 + {\left( {4 - c} \right)^2} = {{{{\left( {c - 17} \right)}^2}} \over {14}} \Leftrightarrow c = 3.$

Vậy $M\left( {0,0,3} \right)$.
b) $M\left( {0;0;c} \right)$ cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

${{\left| { - c + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {c + 5} \right|} \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c =  - 2 \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)$

Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.

b) ${\cos ^2}\alpha  + co{s^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1$

Giải

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có $A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0;b;0} \right)\,,\,C\left( {0;0;c} \right)$

$\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)$
Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - a;b;0} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - a;0;c} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = {a^2} > 0 \Rightarrow \cos A = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} > 0$

$\Rightarrow$ A là góc nhọn.

Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn.
b) Mp(ABC) có phương trình ${x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {{1 \over a};{1 \over b};{1 \over c}} \right)$.
Mp(OBC) $\equiv$ Mp(Oyz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa mp(ABC) và mp(OBC) thì:

${\cos ^2}\alpha  = {\left( {{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = {{{1 \over {{a^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}$

Tương tự ${\cos ^2}\beta  = {{{1 \over {{b^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}$ và ${\cos ^2}\gamma  = {{{1 \over {{c^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}$

Từ đó suy ra ${\cos ^2}\alpha  + co{s^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1$

Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng $4x + 3y - 12z + 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$

Giải

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$.
Mặt cầu có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ bán kính R = 4.
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình $4x + 3y - 12z + D = 0$ với $D \ne 1$.
Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp(P) bằng bán kính R.

$d = {{\left| {4 + 6 - 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4$

$\Leftrightarrow {{\left| { - 26 + D} \right|} \over {13}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 26 + D = 12 \hfill \cr - 26 + D = - 12 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ D = 78 \hfill \cr D = - 26 \hfill \cr} \right.$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: $4x + 3y - 12z + 78 = 0\,\,;\,\,4x + 3y - 12z - 26 = 0$

Giaibaitap.me