Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\)) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3;5} \right)\);

d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0;0; - 3} \right)\);

e) Đường thẳng đi qua \(N\left( {3;2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\);

g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(Q\left( {1;2;4} \right)\).

Giải

a) Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Trục Oz có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\)

Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.

b) Đường thẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) song song với trục Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} + t \hfill \cr 
y = {y_0} \hfill \cr 
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)

Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr 
y = {y_0} + t \hfill \cr 
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)

Đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oz có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr 
y = {y_0} \hfill \cr 
z = {z_0} + t \hfill \cr} \right.\)

Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc.

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3;5} \right)\) Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr 
y = 3t \hfill \cr 
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\) và có phương trình chính tắc \({{x - 2} \over { - 1}} = {y \over 3} = {{z + 1} \over 5}\).

d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0;0; - 3} \right)\) có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr 
z = 2 - 3t \hfill \cr} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

e) Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5;0} \right)\).

Vậy đường thẳng có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr 
y = 2 - 5t \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1; - 1;5} \right)\) nên có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr 
y = 3 - t \hfill \cr 
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\)

và có phương trình chính tắc là \({{x - 2} \over { - 1}} = {{y - 3} \over { - 1}} = {{z + 1} \over 5}\)

Bài 25 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 3t \hfill \cr 
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình : \({{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 1} = {{z + 2} \over 3}\)

Giải

a) Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3;2} \right)\). Đường thẳng cần tìm đi qua A(4; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3;2} \right)\) nên có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr 
y = 3 - 3t \hfill \cr 
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

và có phương trình chính tắc là \({{x - 4} \over 2} = {{y - 3} \over { - 3}} = {{z - 1} \over 2}\).
b) Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right)\)
Đường thẳng cần tìm có phương trình \({{x + 2} \over 2} = {{y - 3} \over 1} = {{z - 1} \over 3}\) và 

\(\left\{ \matrix{
x = - 2 + 2t \hfill \cr 
y = 3 + t \hfill \cr 
z = 1 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Bài 26 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\,\,{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Giải

Đường thẳng d có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 2 + 3t \hfill \cr 
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

Mỗi điểm M(x; y; z) \( \in d\) có hình chiếu trên mp(Oxy) là điểm M’(x; y; 0) , d’ là hình chiếu của d trên mp(Oxy). Vậy d’ có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 +2 t \hfill \cr 
y = - 2 + 3t \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự phương trình hình chiếu của d trên mp(Oxz), mp(Oyz) lần lượt là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\) và 

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = - 2 + 3t \hfill \cr 
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 8 + 4t \hfill \cr 
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Giải

a) Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = \left( {1;4;2} \right)\). Cho t = 0 ta có một điểm \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) nằm trên d.
b) Vectơ pháp tuyến của mp(P) là \({\overrightarrow n _P} = \left( {1;1;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\)là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \({\overrightarrow n _P}\) nên ta lấy \({\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\). \(Mp\left( \alpha  \right)\) đi qua \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _\alpha } = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 8} \right) - 3\left( {z - 3} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\)
c) Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và (P): 

\(\left\{ \matrix{
x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr 
2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0).
d’ có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = - 8 + 4t \hfill \cr 
y = 15 + 5t \hfill \cr 
z = - t \hfill \cr} \right.\)

Giaibaitap.me