Bài 28 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:{{x - 1} \over 2} = y - 7 = {{z - 3} \over 4}\,;\,d':{{x - 3} \over 6} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z + 2} \over 1}\)
b)

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = - 3 - 4t \hfill \cr 
z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\)

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\).

Giải

a) Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;4} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {3; - 1; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {6; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 8; - 5} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right] = \left( {9;22; - 10} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow u '} \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 108 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
b) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 4; - 3} \right)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương

d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và \(M\left( {0; - 3; - 3} \right)\) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.

Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = - 1 - 2t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Giải

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\)

\(\overrightarrow {AM'}  = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\). Do đó:

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay: 

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr 
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr 
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr 
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t =  - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = \left( { - 6; - 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)

Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr 
z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ - 4 + 5t'} \hfill \cr 
y = {- 7 + 9t'} \hfill \cr 
z = {t'} \hfill \cr} \right.\)

Giải

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; - 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = - 2 + 4t \hfill \cr 
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; - 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { - 4 + 5t'; - 7 + 9t';t'} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( { - 5 + 5t' - t; - 5 + 9t' - 4t; - 2 + t' - 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
- 5 + 5t' - t = 0 \hfill \cr 
{{ - 5 + 9t' - 4t} \over 4} = {{ - 2 + t' - 3t} \over { - 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr 
t' = 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({M_2}\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( {0;4; - 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
y = - 2 + 4t \hfill \cr 
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\).

Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\). Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.

Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr 
y = 5 + 2t \hfill \cr 
z = 8 - t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\).

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
b) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\). \(Mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha  \right)\). Vậy \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

d) Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 - t} \right),\)

\(Q\left( {3 - 7t'\,;\,1 + 2t'\,;\,1 + 3t'} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:

\({{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}} \Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}\)

Giaibaitap.me