Bài 1 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho bốn điểm \(A\left( {1;6;2} \right),\,B\left( {4;0;6} \right)\,,\,C\left( {5;0;4} \right)\,,\,D\left( {5;1;3} \right)\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mp(BCD).
d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6;4} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 6;2} \right);\)

\(\,\overrightarrow {AD}  = \left( {4; - 5;1} \right)\).

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
- 6\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 
- 6\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr 
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\, - 6 \hfill \cr 
4\,\,\,\, - 6 \hfill \cr} \right|} \right)\cr& = \left( {12;10;6} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 12.4 - 5.10 + 6.1 = 4 \ne 0. \cr} \)

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng nên ABCD là hình tứ diện.
b) Thể tích hình tứ diện ABCD là \({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {4 \over 6} = {2 \over 3}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;0; - 2} \right);\overrightarrow {BD}  = \left( {1;1; - 3} \right)\)

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 2 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right) \)

\(= \left( {2;1;1} \right).\)

Mp(BCD) qua B(4; 0; 6) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) nên có phương trình:
\(2\left( {x - 4} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 6} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + y + z - 14 = 0\).
d) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD) có bán kính 
\(R = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = {{\left| {2.1 + 1.6 + 1.2 - 14} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}\).
Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {8 \over 3}\).
Gọi H là tiếp điểm thì AH là đường thẳng đi qua A vuông góc với mp(BCD) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\). Vậy AH có phương trình tham số:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = 6 + t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\).

Thay x, y, z vào phương trình mp(BCD) ta được:

\(2\left( {1 + 2t} \right) + 6 + t + 2 + t - 14 = 0 \Rightarrow t = {2 \over 3}\).

Vậy \(H\left( {{7 \over 3};{{20} \over 3};{8 \over 3}} \right)\)

Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\,\,;\,\,B\left( {3;1;1} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x - 2y + 3z - 5 = 0\).
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).
b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).
d) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Giải

a) Điểm \(A'\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đối xứng với A qua mp(P) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_0} - 1,{y_0} + 1,{z_0} + 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến của (P) và trung điểm \(I\left( {{{{x_0} + 1} \over 2};{{{y_0} - 1} \over 2};{{{z_0} - 2} \over 2}} \right)\) của AA’ nằm trên (P). Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{{{x_0} - 1} \over 1} = {{{y_0} + 1} \over { - 2}} = {{{z_0} + 2} \over 3} \hfill \cr 
{{{x_0} + 1} \over 2} - 2{{{y_0} - 1} \over 2} + 3{{{z_0} - 2} \over 2} - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = {{15} \over 7} \hfill \cr 
{y_0} = - {{23} \over 7} \hfill \cr 
{z_0} = {{10} \over 7} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A'\left( {{{15} \over 7}; - {{23} \over 7};{{10} \over 7}} \right)\)
b) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;3} \right)\); mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mp(P) ta có \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và \(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} .\left| {\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \right|}} = {{\left| {2 - 4 + 9} \right|} \over {\sqrt {17.14} }} = {7 \over {\sqrt {238} }}\).
c) Gọi \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) là vectơ pháp tuyến của mp(Q) thì \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} \) nên chọn
\(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {12; - 3; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
\(12\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 6\left( {z + 2} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 4x - y - 2z - 9 = 0\).
d) Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 2t \hfill \cr 
z = - 2 + 3t \hfill \cr 
x - 2y + 3z - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow 1 + 2t - 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\cr& \Rightarrow t = {8 \over 7} \cr} \)

Vậy \(I\left( {{{23} \over 7};{9 \over 7};{{10} \over 7}} \right).\)
Gọi \(\overrightarrow u \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  \,\); \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} \) nên chọn 
\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}}   ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 12;3;6} \right) =  - 3\left( {4; - 1; - 2} \right)\).
Vậy \(\Delta \) có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {{23} \over 7} + 4t \hfill \cr 
y = {9 \over 7} - t \hfill \cr 
z = {{10} \over 7} - 2t \hfill \cr} \right.\)

Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

\(d:\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( P \right):x - 3y + z - 1 = 0\).

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)
b) Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Giải

a) Đường thẳng d đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\). Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}    = \left( {1; - 3;1} \right)\). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P). Mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{n_Q}}    \bot \overrightarrow {{n_P}}  \). Vì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {4;0; - 4} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left( {1;0; - 1} \right)\). (Q) chứa d nên (Q) qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) do đó (Q) có phương trình \(x - {2 \over 3} - z = 0 \Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0\)

Ta có

\(d':\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0, ta có \(x = {2 \over 3},y =  - {1 \over 9} \Rightarrow A\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 9};0} \right) \in d'\) và d’ có vectơ chỉ phương là

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right)\)

\(= \left( {9;6;9} \right) = 3\left( {3;2;3} \right).\)

Phương trình tham số của d’ là

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr 
y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\).

b) Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)\).
Mp(R) đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) (vectơ chỉ phương Oz) nên \(\overrightarrow {{n_R}}    = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Mp(R) có phương trình là \(1\left( {x - {2 \over 3}} \right) - 1\left( {y + {{11} \over 3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0\)
Ta có

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Cho y = 0, ta có \(x = {{13} \over 3},z =  - {{10} \over 3}\) suy ra \(B\left( {{{13} \over 3};0; - {{10} \over 3}} \right) \in {d_1}\).
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \)

\(= \left( {3;3;6} \right) = 3\left( {1;1;2} \right).\)

Vậy \({d_1}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.\)

c) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp(P) thì (P’) có phương trình: x – 3y + z = 0. Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P’) có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr 
x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow I\left( {{{37} \over 3};8;{{35} \over 3}} \right)\)

Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:

\({x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}} \Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}\)

Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho điểm A(2; 3; 1) và hai đường thẳng:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = - 2 - t \hfill \cr 
y = 2 + t \hfill \cr 
z = 2t \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,{d_2}:{{x + 5} \over 3} = {{y - 2} \over { - 1}} = {z \over 1}\)

a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và \({d_1}\).
b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và \({d_2}\).
c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Tính khoảng cách từ A đến \({d_2}\).

Giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) qua \({M_1}\left( { - 2;2;0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u {  _1} = \left( { - 1;1;2} \right)\). Mp(P) qua A và \({d_1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( { - 1;9; - 5} \right)\).
Vậy mp(P) có phương trình: \( - \left( {x + 2} \right) + 9\left( {y - 2} \right) - 5z = 0\)

\(\Leftrightarrow x - 9y + 5z + 20 = 0\).
b) Đường thẳng \({d_2}\) qua \({M_2}\left( { - 5;2;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3; - 1;1} \right)\). Mp(Q) qua A và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;4;10} \right)\).
Vậy mp(Q) có phương trình: \( - 2\left( {x -2} \right) + 4\left( {y - 3} \right) + 10(z-1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 2y - 5z + 9 = 0\)

c) Đường thẳng d đi qua A, cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) nên d nằm trên cả hai mặt phẳng (P) và (Q), tức là d gồm những điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x - 9y + 5z + 20 = 0 \hfill \cr 
x - 2y - 5z + 9 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Đặt x = t ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = {{29} \over {11}} + {2 \over {11}}t \hfill \cr 
z = {{41} \over {55}} + {7 \over {55}}t \hfill \cr} \right.\).

Đây là phương trình tham số của đường thẳng d, d và \({d_1}\) cùng thuộc mp(P) và có vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau. d và \({d_2}\) cùng thuộc mp(Q) và có các vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau.
d) Khoảng cách từ điểm A đến \({d_2}\) là: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = {{\sqrt {4 + 16 + 100} } \over {\sqrt {9 + 1 + 1} }} = {{2\sqrt {30} } \over {\sqrt {11} }}\)

Giaibaitap.me