Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A, B, C\), cạnh bên \(AA'\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \(60^0\).

a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

b) Chứng minh rằng mặt bên \(BCCB'\) là một hình chữ nhật.

c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C\) (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

Giải

a) Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\). Vì \(A’\) cách đều ba đỉnh \(A, B, C\) nên \(A’\) nằm trên trục của \(\Delta ABC\), do đó \(A'O \bot mp\left( {ABC} \right)\)
\(AO\) là hình chiếu của \(AA’\) trên mp \((ABC)\). Do đó \(\widehat {A'AO} = {60^0}\)
Trong tam giác vuông \(A’OA\) ta có: \(\tan {60^0} = {{A'O} \over {AO}}\)

\(\Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0} = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 3  = a\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = B.h = {S_{ABC}}.A'O = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.a = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}\)
b) Vì \(BC \bot AO \Rightarrow BC \bot \left( {AOA'} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\) hay \(BC \bot BB'\) . Vậy \(BCC’B’\) là hình chữ nhật.
c) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Ta có \(AB \bot \left( {A'HO} \right) \Rightarrow A'H \bot AB\).
Trong tam giác vuông \(A’OH\), ta có: \(A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2} = {a^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^2} = {{13{a^2}} \over {12}}\)

\(\Rightarrow A'H = {{a\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình bình hành \(ABB’A’\) : \({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}{{\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Tương tự \({S_{ACC'A'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình chữ nhật \(BCC’B’\) là: \({S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC \)

\(= {{AO} \over {\cos {{60}^0}}}.a = {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là:

\({S_{xq}} = 2{S_{AA'B'B}} + {S_{BCC'B'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {\sqrt 3 }} + {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3} \)

\(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\left( {\sqrt {13}  + 2} \right)\)

Bài 21 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho điểm \(M\) nằm trong hình tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ \(M\) tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\). Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng \(a\) ?

Giải

Gọi \({H_1},{H_2},{H_3},{H_4}\) lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng \((BCD) , (ACD) , (ABD) , (ABC)\).
Khi đó \(M{H_1},M{H_2},M{H_3},M{H_4}\) lần lượt là khoảng cách từ điểm \(M\) tới các mặt phẳng đó. Các mặt bên của tứ diện đều có cùng diện tích, ta kí hiệu các diện tích đó là \(S\) và gọi \(h\) là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:

\(\eqalign{
& {V_{MBCD}} + {V_{MACD}} + {V_{MABD}} + {V_{MABC}} = {V_{ABCD}} \cr 
& \Leftrightarrow {1 \over 3}S.M{H_1} + {1 \over 3}S.M{H_2} + {1 \over 3}S.M{H_3}\cr& + {1 \over 3}S.M{H_4} = {1 \over 3}S.h \cr 
& \Leftrightarrow M{H_1} + M{H_2} + M{H_3} + M{H_4} = h \cr} \)

Vậy tổng các khoảng cách từ điểm \(M\) tới bốn mặt của tứ diện đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(M\) nằm trong tứ diện đó.
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng \(a\), ta tính \(h\).
Gọi \(H\) là trực tâm tam giác đều \(BCD\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).

Ta có:

\(\eqalign{
& {h^2} = A{H^2} = A{M^2} - H{M^2}\cr& = {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\, = {{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}} = {{2{a^3}} \over 3} \Rightarrow h = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

Tổng khoảng cách nói trên bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\).

Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B’C\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA’\). Mặt phẳng đi qua \(M, B’, C\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Giải

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là \(a\), độ dài cạnh bên của lăng trụ là \(b\).
Kẻ đường cao \(CH\) của tam giác \(ABC\) thì \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right),CH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Diện tích hình thang \(ABB’M\) là: \({S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left( {AM + BB'} \right)AB = {1 \over 2}\left( {{b \over 2} + b} \right).a\)

\(= {{3ab} \over 4}\)
Thể tích khối chóp \(C.ABB’M\) là: \({V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH = {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}\)
Thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4} \)

\(= 2{V_{C.ABB'M}}\)
Vậy \({V_{C.ABB'M}} = {V_{B'.A'C'CM}}\)
Chú ý: Có thể chứng minh được hai khối chóp \(C.ABB’M\) và \(B’A’C’CM\) có cùng chiều cao và có diện tích đáy bằng nhau nên chúng có thể tích bằng nhau.

Giaibaitap.me