Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1$        b) $y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1$

c) $y = x + {3 \over x}$                      d) $y = x - {2 \over x}$

e) $y = {x^4} - 2{x^2} - 5$          f) $y = \sqrt {4 - {x^2}}$

Giải

a) Tập xác định: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & y' = 6{x^2} + 6x \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0\,\,\left( {y = 1} \right) \hfill \cr  x = - 1\,\,\left( {y = 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.

b) Tập xác định: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & y' = 3{x^2} - 4x + 1 \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,\,\left( {y = 1} \right) \hfill \cr  x = {1 \over 3}\,\,\left( {y = {{31} \over {27}}} \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)$ và $\,\left( {1; + \infty } \right)$ , nghịch biến trên khoảng $\,\left( {{1 \over 3};1} \right)$.

c) Tập xác định: $D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}$

$\eqalign{ & y' = 1 - {3 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 3} \over {{x^2}}} \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \sqrt 3 \,\,\left( {y = 2\sqrt 3 } \right) \hfill \cr  x = - \sqrt 3 \,\,\left( {y = - 2\sqrt 3 } \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)$ và $\,\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$ và $\,\left( {0;\sqrt 3 } \right)$.

d) Tập xác định: $D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}$

$y' = 1 + {2 \over {{x^2}}} > 0$ với mọi $x \ne 0$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\,\,\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

e) Tập xác định: $D= \mathbb R$

$y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right);y' = 0$

$\Leftrightarrow \,\left[ \matrix{ x = 0\,\,\,\,\left( {y = - 5} \right) \hfill \cr  x = \pm 1\,\,\,\,\left( {y = - 6} \right) \hfill \cr} \right.$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\,\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$, đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

f) Hàm số xác định khi và chỉ khi $4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2$

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$

$y' = {{ - 2x} \over {2\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow$$x = 0\,\,\,\left( {y = 2} \right)$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ .

Bài 2 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Hàm số $y = {{x - 2} \over {x + 2}}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

b)Hàm số $y = {{ - {x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Giải

a) Tập xác định $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}$

$y' = {{\left| \matrix{ 1\,\,\,\, - 2 \hfill \cr  1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {4 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0$ với mọi $x \ne  - 2$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

b) Tập xác định $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

$y' = {{\left( { - 2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x - 5} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0$ với mọi $x \ne  - 1$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Bài 3 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên $\mathbb R$:

a) $f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4;$ 

b) $f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4$

Giải

a) Tập xác định: $D =\mathbb R$

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 17 > 0$ với mọi $x \in \mathbb R$ (vì $a > 0,\Delta ' < 0$)

Hàm số đồng biến trên $\mathbb R$.

b) Tập xác định: $D =\mathbb R$

$f'\left( x \right) = 3{x^2} + 1 + \sin x$

Vì $1 + \sin x \ge 0$ và $3{x^2} \ge 0$ nên $f'\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb R$, với $x = 0$ thì $1 + \sin x = 1 > 0$ nên $f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb R$ do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb R$.

Giaibaitap.me