Câu 1. (6 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)

b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC;

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \)

\(\eqalign{
& = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr
& = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = {{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \over 2}\)

\(=  > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {IB} \)

\( =  > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = A{I^2} - I{B^2} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) (I là trung điểm của BC)

c) Ta có: 

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow (M{A^2} - G{A^2}) + (M{B^2} - G{B^2}) + (M{C^2} - G{C^2}) = 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}\)

\(\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}\) (đúng)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 2. ( 4 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.

Gợi ý làm bài

*Gọi \(C({x_C};{y_C})\), ta có: \(\overrightarrow {BC}  = ({x_C} - 3;{y_C});\overrightarrow {AB}  = (2;1)\)

Vì ABCD là hình vuông  

=> \(\left\{ \matrix{
AB \bot BC \hfill \cr
AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
2{x_C} - 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 6 - 2{x_C} \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + 36 - 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 2 \hfill \cr
{x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{
{y_C} = - 2 \hfill \cr
{x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)

*Gọi \(D({x_D};{y_D})\)

Với C(2;2)

=>  \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 2 = - 2 \hfill \cr
{y_D} - 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 0 \hfill \cr
{y_D} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Với C(4;-2)

=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 4 = - 2 \hfill \cr
{y_D} + 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 2 \hfill \cr
{y_D} = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).

Giaibaitap.me