Bài 48 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình sau:

a)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 55 \hfill \cr
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)

Giải

a) Đặt \(S = x + y; P = xy\)

Ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P = 208 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) 

+ Với \(S = 20, P = 96\)  thì x, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} - 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr
X = 12 \hfill \cr} \right.\) 

Ta có nghiệm \((8, 12)\) và \((12, 8)\)

+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = - 8 \hfill \cr
X = - 12 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)

Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)\)

b) Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :

\({x^2} - {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} - 55{x^2} - 576 = 0\)

Đặt \(t = x^2\;(t ≥  0)\), ta có phương trình:

\({t^2} - 55t - 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr
t = - 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)

\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)

Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)

Nếu \(x = -8 ⇒  y = -3\)

Vậy hệ có hai nghiệm \((8;3)\) và \((-8;-3)\)

Bài 49 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Giải

Giả sử:

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

f(0) = -4 ⇒ c = -4

f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)

Ta có: (x₁ – x₂ )² = 25 ⇔ S² – 4P = 25

Với

\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ - 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \({{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)

\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ: 

\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)

Hay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:

\({(5 - 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = - {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)

Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)

Nếu \(a =  - {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)

Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y =  - {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giaibaitap.me