Bài 48 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình sau:

a)

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr xy = 96 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = 55 \hfill \cr xy = 24 \hfill \cr} \right.$

Giải

a) Đặt $S = x + y; P = xy$

Ta có hệ:

$\left\{ \matrix{ {S^2} - 2P = 208 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {S^2} = 400 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = 20 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ S = - 20 \hfill \cr P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$ 

+ Với $S = 20, P = 96$  thì x, y là nghiệm phương trình:

${X^2} - 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 8 \hfill \cr X = 12 \hfill \cr} \right.$ 

Ta có nghiệm $(8, 12)$ và $(12, 8)$

+ Với $S = -20, P = 96$ thì x, y là nghiệm phương trình:

${X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = - 8 \hfill \cr X = - 12 \hfill \cr} \right.$

Ta có nghiệm $(-8, -12)$ và $(-12, -8)$

Vậy hệ có 4 nghiệm : $(8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)$

b) Thay $y = {{24} \over x}$ vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :

${x^2} - {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} - 55{x^2} - 576 = 0$

Đặt $t = x^2\;(t ≥  0)$, ta có phương trình:

${t^2} - 55t - 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 64 \hfill \cr t = - 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.$

$t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8$

Nếu $x = 8 ⇒ y = 3$

Nếu $x = -8 ⇒  y = -3$

Vậy hệ có hai nghiệm $(8;3)$ và $(-8;-3)$

Bài 49 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Giải

Giả sử:

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

f(0) = -4 ⇒ c = -4

f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)

Ta có: (x₁ – x₂ )² = 25 ⇔ S² – 4P = 25

Với

$\left\{ \matrix{ S = {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ - 4} \over a} \hfill \cr} \right.$

Do đó: ${{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25$

$\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ: 

$\left\{ \matrix{ 2a + b = 5 \hfill \cr {b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.$

Hay $b = 5 – 2a$ vào (2), ta được:

${(5 - 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 1 \hfill \cr a = - {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.$

Nếu $a = 1 ⇒ b = 3$

Nếu $a =  - {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}$

Vậy hàm số $y = x^2+ 3x – 4$ và $y =  - {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x - 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giaibaitap.me