Bài 4 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho hai điểm \(P(4;0),Q(0; - 2)\) .

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ;

b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Giải

a) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm  \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ

\(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow 0 \)

Ta chọn \(\overrightarrow n (1; - 2)\)

\(\Delta \) song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của \(\Delta \)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) đi qua A(3, 2)  và có véc tơ pháp tuyến  \(\overrightarrow n (1; - 2)\)  là:

\(1.(x - 3) - 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\)

b) Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là trung điểm của PQ

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{x_I} = {{{x_P} + {x_Q}} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{{y_P} + {y_Q}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = {{4 + 0} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{0 + ( - 2)} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = 2 \hfill \cr
{y_I} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(I(2; - 1)\)

Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ

Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ

Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2, 1) và nhận \(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến là:

\( - 4.(x - 2) - 2.(y + 1) = 0 \Leftrightarrow  - 4x - 2y + 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\

.

Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2, 1)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

Giải

a) Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) . Gọi \(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_M} = {{{x_O} + {x_N}} \over 2} \hfill \cr
{y_M} = {{{y_O} + {y_N}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4 \hfill \cr
{y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy N(4, 2)

Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 4} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0.\)

b) Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1;1} \right)\) do đó d’ có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x - y = 0 \hfill \cr
x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} \hfill \cr
y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(M'\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)

Bài 6 trang 80 SGK Hình học 10 Nâng cao

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng

a) \(2x - 5y + 3 = 0\)  và \(5x + 2y - 3 = 0\) ;

b) \(x - 3y + 4 - 0\)  và \(0,5x - 1,5y + 4 = 0\) ;

c) \(10x + 2y - 3 = 0\) và \(5x + y - 1,5 = 0.\)

Giải

a) Ta có: \({2 \over 5} \ne  - {5 \over 2}\) nên hai đường thẳng đã cho cắt nhau và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
2x - 5y = - 3 \hfill \cr
5x + 2y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {29}} \hfill \cr
y = {{21} \over {29}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(A\left( {{9 \over {29}};{{21} \over {29}}} \right)\)

b) Ta có: \({1 \over {0,5}} =  - {3 \over { - 1,5}} \ne {4 \over 4}\) nên hai đường thẳng đã cho song song.

c) Ta có: \({{10} \over 5} = {2 \over 1} = {{ - 3} \over { - 1,5}}\) nên hai đường thẳng đã cho trùng nhau.

Giaibaitap.me