Bài 11 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của chúng

a)

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = 5 - t \hfill \cr} \right.\)

 và 

\(\left\{ \matrix{
x = 8 + 6{t'} \hfill \cr
y = 4 - 3{t'} \hfill \cr} \right.;\)

b)

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

 và \({{x - 4} \over 2} = {{y + 7} \over 3};\)

c)

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr} \right.\)

 và \(x + y - 4 = 0\)

Giải

a) Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

 \(x + 2y - 14 = 0\) và \(x + 2y - 16 = 0\)

Ta có:  \({1 \over 1} \ne {2 \over 2} \ne {{ - 14} \over { - 16}}\)

Do đó hai đường thẳng song song.

b) Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

\(2x - y - 13 = 0\) và \(3x - 2y - 26 = 0\)

Ta có:  \({2 \over 3} \ne {{ - 1} \over { - 2}}.\)

Do đó hai đường thẳng cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau: 

\(\left\{ \matrix{
2x - y - 13 = 0 \hfill \cr
3x - 2y - 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 13 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M(0, -13)

c) Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:

\(x + y - 4 = 0\) và \(x + y - 4 = 0\)

Hai đường thẳng trùng nhau

Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

a) 

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b) \(\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}\)

c) \(\Delta :5x - 12y + 10 = 0.\)

Giải

a) \(\Delta :y = 1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n'} \left( {1;0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(3, 1)

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)\) . Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

\(\eqalign{
& 3.\left( {x - 3} \right) - 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr} \) 

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)  do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr
3x - 4y - 17 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr
3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right).\)

c) \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).\) 

Đường thẳng \(\Delta '\)  qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình chính tắc là:

 \({{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow  - 12x - 5y + 26 = 0\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr
- 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)

Bài 13 trang 85 SGK Hình học 10 Nâng cao

Trên đường thẳng \(\Delta :x - y + 2 = 0\) , Tìm điểm M cách đều hai điểm E(0, 4) và F(4, -9) .

Giải

Phương trình tham số của \(\Delta \) là:

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Giả sử \(M\left( {t;2 + t} \right) \in \Delta \) và \(EM = FM\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} = {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 11} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {t^2} + {t^2} - 4t + 4 = {t^2} - 8t + 16 + {t^2} + 22t \cr&\;\;\;+ 121 \cr
& \Leftrightarrow t = {{ - 133} \over {18}} \cr} \)

Vậy \(M\left( { - {{133} \over {18}}; - {{97} \over {18}}} \right).\)

Bài 14 trang 85 SGK Hình học Nâng cao lớp 10

Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4, -1) . Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x - 3y = 0 và 2x + 5y +6 = 0. Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó.

Giải

Giả sử hình bình hành ABCD có:

\(A\left( {4; - 1} \right)\) và \(BC:x - 3y = 0;\,\,CD:2x + 5y + 6 = 0\) (do A không nằm trên hai đường thẳng này).

Vì C là giao của BC và CD nên tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 0 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {{18} \over {11}} \hfill \cr
y = - {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(C\left( { - {{18} \over {11}}; - {6 \over {11}}} \right).\)

Đường thẳng AD qua A và song song với BC nên có phương trình:

\(1.\left( {x - 4} \right) - 3.\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0.\)

Đường thẳng AB qua A và song song với CD nên có phương trình là:

\(2.\left( {x - 4} \right) + 5.\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 3 = 0.\)

B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ của B là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
2x + 5y - 3 = 0 \hfill \cr
x - 3y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {11}} \hfill \cr
y = {3 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(B\left( {{9 \over {11}};{3 \over {11}}} \right).\)

D là giao điểm của AD và CD  nên tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 7 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{17} \over {11}} \hfill \cr
y = - {{20} \over {11}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(D\left( {{{17} \over {11}}; - {{20} \over {11}}} \right).\)

Giaibaitap.me