Bài 39 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau:

a) 

\(\left\{ \matrix{
6x + {5 \over 7} > 4x + 7 \hfill \cr
{{8x + 3} \over 2} < 2x + 25 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
15 - 2 > 2x + {1 \over 3} \hfill \cr
2(x - 4) < {{3x - 14} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Giải

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
6x + {5 \over 7} > 4x + 7 \hfill \cr
{{8x + 3} \over 2} < 2x + 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
42x + 5 < 28x + 49 \hfill \cr
8x + 3 < 4x + 50 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14x > 44 \hfill \cr
4x < 47 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {{44} \over {14}} < x < {{47} \over 4}\)

Vì x ∈ Z nên x ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Vậy tập nghiệm của hệ là : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
15 - 2 >2x + {1 \over 3} \hfill \cr
2(x - 4) < {{3x - 14} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
45x - 6 > 6x + 1 \hfill \cr
4x - 16 < 3x - 14 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
39x > 7 \hfill \cr
x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {7 \over {39}} < x < 2\)

Vì x ∈ Z nên x = 1

Vậy tập nghiệm của hệ là {1}

Bài 40 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải bất phương trình và bất phương trình

a) |x + 1| + |x – 1| = 4

b) \({{|2x - 1|} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\)

Giải

a) Ta có bảng xét dấu:  

i) Với \(x < -1\), ta có (1) \(⇔ - x – 1 – x + 1 = 4 ⇔ x = -2\) (nhận)

ii) Với \(-1 ≤ x ≤  1\), ta có: (1) \(⇔ x + 1 – x + 1 = 4 ⇔ 2 = 4\) (vô nghiệm)

iii) Với \(x > 1\), ta có (1) \(⇔ x + 1 + x – 1 = 4 ⇔ x = 2\) (nhận)

Vậy S = {-2, 2}

b) Ta có:

i) Nếu \(x \le {1 \over 2}\) thì bất phương trình trở thành: \({{ - 2x + 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {{ - 2x + 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {{2( - 2x + 1) - (x + 1)(x - 2)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ - {x^2} - 3x + 4} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \Leftrightarrow {{(x - 1)(x + 4)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} < 0 \cr} \)

Lập bảng xét dấu:

Trường hợp này ta có: \(-4 < x < -1\)

ii) Nếu \(x > {1 \over 2}\) thì bất phương trình đã cho trở thành: \({{2x - 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {{2x - 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow {{2(2x - 1) - (x + 1)(x - 2)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \cr
& \Leftrightarrow {{x(x - 5)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} < 0 \cr} \)

Lập bảng xét dấu trên nửa khoảng \(({1 \over 2}, + \infty )\)

Trong trường hợp này ta có: \(2 < x < 5\)

Vậy \(S = (-4, -1)  ∪ (2, 5)\)

Bài 41 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các hệ bất phương trình

a) 

\(\left\{ \matrix{
(x - \sqrt 5 )(\sqrt 7 - 2x) > 0 \hfill \cr
x - m \le 0 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \hfill \cr
x - m \ge 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Ta có bảng xét dấu:

Vậy \((x - \sqrt 5 )(\sqrt 7  - 2x) > 0 \Leftrightarrow {{\sqrt 7 } \over 2} < x < \sqrt 5 \)

Ta có: \({S_1} = ({{\sqrt 7 } \over 2};\sqrt 5 )\)

Bất phương trình thứ hai có nghiệm \(x ≤ m\).

Ta có: \({S_2} = (-∞; m]\),

Do đó:

+ Nếu \(m \le {{\sqrt 7 } \over 2}\) thì tập nghiệm là S = S₁ ∩ S₂ = Ø

+ Nếu \({{\sqrt 7 } \over 2} \le m < \sqrt 5 \) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2},m)\)

+ Nếu \(m \ge \sqrt 5 \) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2}\sqrt 5 )\)

b) Ta có:

\({2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \Leftrightarrow {{2(2x - 1) - 5(x - 1)} \over {(x - 1)(2x - 1)}} < 0 \Leftrightarrow {{x - 3} \over {(x - 1)(2x - 1)}} > 0\)

Bằng cách lập bảng xét dấu vế trái, ta có:

\({2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{1 \over 2} < x < 1 \hfill \cr
x > 3 \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \({S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )\)

Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là: S₂ = [m, +∞ )

Do đó:

+ Nếu \(m \le {1 \over 2}\) thì tập nghiệm là  \({S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )\)

+ Nếu \({1 \over 2} < m < 1\) thì tập nghiệm là \(S = {\rm{[m, 1)}} \cup {\rm{(3, + }}\infty {\rm{)}}\)

+ Nếu \(1≤ m ≤ 3\) thì tập nghiệm là \(S = (3, +∞ )\)

+ Nếu \(m > 3\) thì tập nghiệm là \(S = [m; +∞ )\)

Giaibaitap.me